Somma di una serie tramite Fourier
Ciao a tutti, svolgendo esercizi vari su Fourier ho trovato uno che chiede di calcolare la somma della serie:
$ sum_(k = \0) 1/(2k+1)^4 $
a partire dalla serie di Fourier associata alla funzione $ 2pi $ periodica dispari tale che:
$ y = x(pi -x) $ con $ x in [0,pi] $
Ora, con un po' di calcoli ho ricavato che la serie di Fourier ad essa associata (e che converge in ogni in ogni punto alla funzione) è:
$ sum_(k = \0) 8/(pi(2k+1)^3)*sin[(2k+1)x] $
Ho successivamente integrato a termine questa serie e la funzione di partenza nell'intervallo $ [0,pi] $ , ricavando:
$ sum_(k = \0) 8/(pi(2k+1)^4)*-cos[(2k+1)x] $ e $ F(x)= pix^2/2 -x^3/3 +c $
Centrando poi sia la serie che la funzione in $ pi $ , dove prima avevo stabilito che si aveva convergenza puntuale (e quindi credo che anche integrando non si perde la convergenza, correggetemi se sbaglio, non è stato trattato questo argomento nel corso), si ottiene che (il coseno in multipli dispari di pigreco diventa -1):
$ sum_(k=\0) 1/(2k+1)^4 = pi^4 / 48 $
Il risultato corretto sarebbe però $ pi^4/96 $ , la metà di quello che ottengo io.
$ sum_(k = \0) 1/(2k+1)^4 $
a partire dalla serie di Fourier associata alla funzione $ 2pi $ periodica dispari tale che:
$ y = x(pi -x) $ con $ x in [0,pi] $
Ora, con un po' di calcoli ho ricavato che la serie di Fourier ad essa associata (e che converge in ogni in ogni punto alla funzione) è:
$ sum_(k = \0) 8/(pi(2k+1)^3)*sin[(2k+1)x] $
Ho successivamente integrato a termine questa serie e la funzione di partenza nell'intervallo $ [0,pi] $ , ricavando:
$ sum_(k = \0) 8/(pi(2k+1)^4)*-cos[(2k+1)x] $ e $ F(x)= pix^2/2 -x^3/3 +c $
Centrando poi sia la serie che la funzione in $ pi $ , dove prima avevo stabilito che si aveva convergenza puntuale (e quindi credo che anche integrando non si perde la convergenza, correggetemi se sbaglio, non è stato trattato questo argomento nel corso), si ottiene che (il coseno in multipli dispari di pigreco diventa -1):
$ sum_(k=\0) 1/(2k+1)^4 = pi^4 / 48 $
Il risultato corretto sarebbe però $ pi^4/96 $ , la metà di quello che ottengo io.
Risposte
Ti sei dimenticato $1/2$ nell'integrale del seno.
Perché $ 1/2 $ ?
Integrando il seno ottengo $ -cos[(2k+1)x]/(2k+1) $
Integrando il seno ottengo $ -cos[(2k+1)x]/(2k+1) $
Ah sì, scusa, avevo letto una cosa per un'altra.
Boh, a riguardarla mi pare tutto in ordine. Sicuro che i coefficienti della serie siano quelli che hai scritto?
Boh, a riguardarla mi pare tutto in ordine. Sicuro che i coefficienti della serie siano quelli che hai scritto?
Credo di sì.
La funzione era dispari, quindi a0 e an sono nulli, mentre bn diventa:
$ 2/pi int_(0)^(pi) x(pi-x)*sin(nx) dx = 4/(pi*n^3)*(1-(-1)^n) = 8/(pi*(2k+1)^3)$
Dove nell'ultimo passaggio ho tenuto in considerazione che per n pari bn è nullo, mentre per n dispari si raddoppia.
Più che altro il punto precedente dell'esercizio chiedeva la somma di $ sum_(k = \0)1/(2k+1)^2 $ sempre a partire dalla funzione di prima, derivandola e centrandola in $ x=0 $ il risultato è corretto, per questo mi fidavo della correttezza dei coefficienti di Fourier.
La funzione era dispari, quindi a0 e an sono nulli, mentre bn diventa:
$ 2/pi int_(0)^(pi) x(pi-x)*sin(nx) dx = 4/(pi*n^3)*(1-(-1)^n) = 8/(pi*(2k+1)^3)$
Dove nell'ultimo passaggio ho tenuto in considerazione che per n pari bn è nullo, mentre per n dispari si raddoppia.
Più che altro il punto precedente dell'esercizio chiedeva la somma di $ sum_(k = \0)1/(2k+1)^2 $ sempre a partire dalla funzione di prima, derivandola e centrandola in $ x=0 $ il risultato è corretto, per questo mi fidavo della correttezza dei coefficienti di Fourier.
Stai implicitamente ignorando \(c\), è quello il problema. Prova a fare così:
\[ x(\pi -x)= \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^3} \sin \left [(2k+1) x \right] \]
Integrando da entrambe le parti tra \( 0\) e \( \pi\):
\[ \underbrace{ \int_{0}^{\pi} x(\pi -x) \ \text{d} x}_{{} = \frac{\pi^3}{6} }=\underbrace{ \int_{0}^{\pi} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^3} \sin \left [(2k+1) x \right] \ \text{d} x }_{{} = 2 \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^4}} \]
Quindi:
\[ \frac{\pi^3}{6} = 2 \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^4} \implies \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k +1)^4} = \frac{\pi^4}{96} \]
\[ x(\pi -x)= \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^3} \sin \left [(2k+1) x \right] \]
Integrando da entrambe le parti tra \( 0\) e \( \pi\):
\[ \underbrace{ \int_{0}^{\pi} x(\pi -x) \ \text{d} x}_{{} = \frac{\pi^3}{6} }=\underbrace{ \int_{0}^{\pi} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^3} \sin \left [(2k+1) x \right] \ \text{d} x }_{{} = 2 \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^4}} \]
Quindi:
\[ \frac{\pi^3}{6} = 2 \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{8}{\pi (2k +1)^4} \implies \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k +1)^4} = \frac{\pi^4}{96} \]
Mi sa che ho capito. Tu hai che $f(x)=\sum a_n(x)$, per cui devi calcolare $\int_0^\pi f(x)\ dx=\sum\int_0^\pi a_n(x)$ e dall'integrazione della funzione seno ti spunta un due.
EDIT: anticipato
EDIT: anticipato
Così torna perfettamente. Quindi nel processo di integrazione non posso limitarmi a cercare una generica primitiva ma devo attenermi al fatto che essa fosse riferita a tutto l'intervallo in cui avevo convergenza, giusto?
Non per forza. Ad esempio, integrando tra \(\frac{\pi}{2} \) e \(\pi\) si ottiene:
\[ \frac{\pi^3}{12} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{8}{\pi(2k+1)^4 } \]
che dà il medesimo risultato. L'intervallo di integrazione si può scegliere opportunamente, ma la scelta non è unica. Quello che non va fatto è cercare soltanto una primitiva, poiché il problema resterebbe indeterminato.
\[ \frac{\pi^3}{12} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{8}{\pi(2k+1)^4 } \]
che dà il medesimo risultato. L'intervallo di integrazione si può scegliere opportunamente, ma la scelta non è unica. Quello che non va fatto è cercare soltanto una primitiva, poiché il problema resterebbe indeterminato.
Capito. Grazie mille ad entrambi! Ho le idee molto più chiare ora.
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