Somma di una serie razionale o irrazionale?
Salve ragazzi, qualcuno mi può spiegare come è possibile stabilire se la somma di questa serie è razionale o irrazionale? 
$\sum_{n=1}^\infty 1/b^(n!) $ b>1 intero
$\sum_{n=1}^\infty 1/b^(n!) $ b>1 intero
Risposte
Buonasera antonella e benvenuta sul forum,
io non ti so aiutare ma ti invito a postare i ragionamenti che hai fatto, poi magari qualcuno interviene, senza le tue considerazioni è vietato dal regolamento.
io non ti so aiutare ma ti invito a postare i ragionamenti che hai fatto, poi magari qualcuno interviene, senza le tue considerazioni è vietato dal regolamento.
Certo, per ora sono arrivata ad accertarmi della convergenza della serie, per il criterio del confronto con la serie geometrica convergente
$ 1/b^(n!) < 1/b^(n) $
Ma il quiz chiede anche di sapere se la somma è razionale o irrazionale.
Forse bisogna provare a considerare questa serie come sviluppo di Taylor di una qualche funzione, ma non so ancora quale potrebbe essere...
Nei prossimi giorni continuerò a studiare le serie, ma sinora non ho incontrato nulla del genere, quindi aggiungerò altre mie considerazioni appena ne avrò. Comunque grazie anticipate!
$ 1/b^(n!) < 1/b^(n) $
Ma il quiz chiede anche di sapere se la somma è razionale o irrazionale.
Forse bisogna provare a considerare questa serie come sviluppo di Taylor di una qualche funzione, ma non so ancora quale potrebbe essere...
Nei prossimi giorni continuerò a studiare le serie, ma sinora non ho incontrato nulla del genere, quindi aggiungerò altre mie considerazioni appena ne avrò. Comunque grazie anticipate!
Se \( \alpha \) è un numero razionale deve esistere una costante \( c >0 \) tale che per tutti i numeri razionali \( \frac{p}{q} \neq \alpha\) si abbia :
\( \left| \alpha -\frac{p}{q}\right| \geq\frac{c}{q}\).
Per dimostrare dunque che un numero è irrazionale basta provare che per esso non può esistere la costante \( c \) di cui sopra.
Posto \( \alpha = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p^{n!}}\), supponiamo per assurdo che \( \alpha \) sia razionale e sia \( c>0\) la costante di cui sopra.
Poniamo \( q=p^{n!}\) e \( p=q\sum_{k=1}^n \frac{1}{p^{k!}}\), \( p\) e \(q\) sono ovviamente interi e risulta:
per \( k\geq n+1\): \( k! \geq n!k\);
e \( 0 < \frac{c}{q} \leq \left| \alpha -\frac{p}{q}\right|=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{p^{k!}} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}
{p^{n!k}}=\frac{1}{q^n(q-1)}\)
da cui:
\( 0 < c \leq \frac{1}{q^{n-1}(q-1)}\)
Facendo tendere \( n \rightarrow \infty\) otteniamo l'assurdo \( c=0 \).
Dunque \( \alpha \) deve essere irrazionale.
Con analogo procedimento , più semplice, si dimostra l'irrazionalità di \(e\).
\( \left| \alpha -\frac{p}{q}\right| \geq\frac{c}{q}\).
Per dimostrare dunque che un numero è irrazionale basta provare che per esso non può esistere la costante \( c \) di cui sopra.
Posto \( \alpha = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p^{n!}}\), supponiamo per assurdo che \( \alpha \) sia razionale e sia \( c>0\) la costante di cui sopra.
Poniamo \( q=p^{n!}\) e \( p=q\sum_{k=1}^n \frac{1}{p^{k!}}\), \( p\) e \(q\) sono ovviamente interi e risulta:
per \( k\geq n+1\): \( k! \geq n!k\);
e \( 0 < \frac{c}{q} \leq \left| \alpha -\frac{p}{q}\right|=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{p^{k!}} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}
{p^{n!k}}=\frac{1}{q^n(q-1)}\)
da cui:
\( 0 < c \leq \frac{1}{q^{n-1}(q-1)}\)
Facendo tendere \( n \rightarrow \infty\) otteniamo l'assurdo \( c=0 \).
Dunque \( \alpha \) deve essere irrazionale.
Con analogo procedimento , più semplice, si dimostra l'irrazionalità di \(e\).
"totissimus":
Se \( \alpha \) è un numero razionale deve esistere una costante \( c >0 \) tale che per tutti i numeri razionali \( \frac{p}{q} \neq \alpha\) si abbia :
\( \left| \alpha -\frac{p}{q}\right| \geq\frac{c}{q}\).
Non la conoscevo questa caratterizzazione... anche se non la capisco bene.. potresti postare una dimostrazione e/o linkare un riferimento?
gia' che ci sono propongo anche un'altra idea riguardo all'esercizio. Per $b=10$, la non razionalita' e' banale, perche' si stanno sommando i numeri $0,1$, $0,01$, $0,0001$... tutti i numeri del tipo $0,000\ldots1$ con $1$ nella posizione $n!$. E' allora chiaro che la somma della serie non puo' essere razionale, perche' si ottiene il numero $0,1101000..$ con gli uni nelle posizioni $n!$ e questa espansione decimale non e' periodica. Per $b$ qualsiasi... basta cambiare base!
Se \( \frac{p}{q}, \frac{m}{n} \) sono numeri razionali distinti \( pn-qm \neq 0\) abbiamo:
\( \left | \frac{p}{q}-\frac{m}{n}\right |= \frac{\left | pn-qm\right |}{nq} \geq \frac{1}{nq}=\frac{c}{n}\), con \( c=\frac{1}{q} \)
\( \left | \frac{p}{q}-\frac{m}{n}\right |= \frac{\left | pn-qm\right |}{nq} \geq \frac{1}{nq}=\frac{c}{n}\), con \( c=\frac{1}{q} \)
Grazie!
correggi: $pn-qm\ne0$.
correggi: $pn-qm\ne0$.
Ringrazio Valerio e mi scuso per la svista.
Aggiungo che il numero \( \alpha \) non solo è irrazionale ma è anche trascendente, analogo ragionamento di prima , in conseguenza del seguente teorema di Liouville:
Se \( \alpha \) è un numero algebrico su Q di grado n allora esiste una costante \( c > 0 \) tale che per ogni razionale \( \frac{p}{q}\) risulti \( \left | \alpha -\frac{p}{q}\right | \geq \frac{c}{q^n}\).
Aggiungo che il numero \( \alpha \) non solo è irrazionale ma è anche trascendente, analogo ragionamento di prima , in conseguenza del seguente teorema di Liouville:
Se \( \alpha \) è un numero algebrico su Q di grado n allora esiste una costante \( c > 0 \) tale che per ogni razionale \( \frac{p}{q}\) risulti \( \left | \alpha -\frac{p}{q}\right | \geq \frac{c}{q^n}\).
"totissimus":
Aggiungo che il numero \( \alpha \) non solo è irrazionale ma è anche trascendente, analogo ragionamento di prima , in conseguenza del seguente teorema di Liouville:
Se \( \alpha \) è un numero algebrico su Q di grado n allora esiste una costante \( c > 0 \) tale che per ogni razionale \( \frac{p}{q}\) risulti \( \left | \alpha -\frac{p}{q}\right | \geq \frac{c}{q^n}\).
molto interessante! grazie per i dettagli inseriti.
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