Somma di una serie geometrica
su tutti i libri,siti, ecc. che ho consultato la somma di una serie geometrica di ragione q é : $ 1/ (1-q) $ se q<1
benissimo.. prendendo però la serie : $ sum_(n = 0)^(oo ) 1/ (6^n) $ di ragione 1/6 e applicando la formula scritta su ottengo come risulato 6/5... che non è il risultato ( per la cronaca il risultato è 1/5)
adesso ditemi, dov'è che sbaglio? :s
benissimo.. prendendo però la serie : $ sum_(n = 0)^(oo ) 1/ (6^n) $ di ragione 1/6 e applicando la formula scritta su ottengo come risulato 6/5... che non è il risultato ( per la cronaca il risultato è 1/5)
adesso ditemi, dov'è che sbaglio? :s
Risposte
Ciao
sei sicuro che nel tuo esercizio, la sommatoria abbia $n=0$ e non $n=1$?
sei sicuro che nel tuo esercizio, la sommatoria abbia $n=0$ e non $n=1$?
ops.. n=1 sorry 
che però non mi aiuta con il mio problema.. o no?
che però non mi aiuta con il mio problema.. o no?
"astob":
ops.. n=1 sorry
No, non ti aiuta con il tuo problema. Te lo risolve, direi
Alla somma che parte da $n=0$, sottrai il primo termine e hai finito.
mmm si questo è abbastanza chiaro 
però resettiamo tutto... ipotizziamo che io parti da n=1.... senza sapere a priori il risultato... dunque applico : 1/ (1-1/6) = 6/5... io vado fra le opzioni scelgo 6/5 e............ sbaglio!!! cioè non so se la domanda è chiara o meno :s
però resettiamo tutto... ipotizziamo che io parti da n=1.... senza sapere a priori il risultato... dunque applico : 1/ (1-1/6) = 6/5... io vado fra le opzioni scelgo 6/5 e............ sbaglio!!! cioè non so se la domanda è chiara o meno :s
E certo . $sum_(n=0)^oo {frac 1 6}^n = frac 6 5$ quindi, se la vuoi far partire da 1, come diceva Paolo90, devi sottrarre il primo termine, cioè quello con $n=0$: $sum_(n=1)^oo {frac 1 6}^n =sum_(n=0)^oo {frac 1 6}^n-1= frac 6 5 - 1=frac 1 5$. Non è indifferente il punto di partenza, anzi...
. $sum_(n=0)^oo {frac 1 6}^n = frac 6 5$ quindi, se la vuoi far partire da 1, come diceva Paolo90, devi sottrarre il primo termine, cioè quello con $n=0$: $sum_(n=1)^oo {frac 1 6}^n =sum_(n=0)^oo {frac 1 6}^n-1= frac 6 5 - 1=frac 1 5$. Non è indifferente il punto di partenza, anzi...
"Mascaretti":
E certo
la mia domanda non è chiara ancora
cmq grazie per la precisazione :O
Come già ti hanno indicato... una somma di infiniti termini la puoi vedere come la somma di due serie parziali quindi
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} = a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} - a_{0}[/tex]
nel tuo caso
[tex]a_{n} = \frac{1}{6^{n}}[/tex]
quindi è una serie geometrica con $q=\frac{1}{6}$ (come tu stesso hai correttamente notato);
pertanto [tex]a_{0} = \frac{1}{6^{0}}=1[/tex]
quindi la tua serie diventa
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}} - a_{0} = \frac{1}{1-\frac{1}{6}}-1=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}[/tex]
hai ancora dubbi?
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} = a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} - a_{0}[/tex]
nel tuo caso
[tex]a_{n} = \frac{1}{6^{n}}[/tex]
quindi è una serie geometrica con $q=\frac{1}{6}$ (come tu stesso hai correttamente notato);
pertanto [tex]a_{0} = \frac{1}{6^{0}}=1[/tex]
quindi la tua serie diventa
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}} - a_{0} = \frac{1}{1-\frac{1}{6}}-1=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}[/tex]
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