Somma di una serie e serie di fourier
Salve a tutti, ho un dubbio su come trovarmi la somma di una serie a partire dalla somma della serie di Fourier:
Allora la serie di fourier associata alla funzione \(\displaystyle f(x)=1-|x| \) è la seguente:
\(\displaystyle f(x)=1-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{cos(2n+1)x}{(2n+1)2} \)
Mi viene ora chiesto di determinare la somma della serie:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}} \)
Per fare questo ho pensato di applicare alla x il valore 0, in modo tale che il coseno assuma valore 1:
\(\displaystyle 1=1-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)2} \)
da cui si ottiene che:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)2}=\frac{\pi^{2}}{8} \)
Mi trovo però in difficoltà a trovare la somma di questa serie:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{4}} \)
Non posso semplicemente elevare al quadrato la somma della serie precedente, perchè so che il quadrato di una serie non è uguale alla serie dei termini al quadrato.Non so però come scomporre la serie in modo da ricondurla alla prima.
Sapreste darmi una mano, per favore?
Saluti
Enrico
Allora la serie di fourier associata alla funzione \(\displaystyle f(x)=1-|x| \) è la seguente:
\(\displaystyle f(x)=1-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{cos(2n+1)x}{(2n+1)2} \)
Mi viene ora chiesto di determinare la somma della serie:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}} \)
Per fare questo ho pensato di applicare alla x il valore 0, in modo tale che il coseno assuma valore 1:
\(\displaystyle 1=1-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)2} \)
da cui si ottiene che:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)2}=\frac{\pi^{2}}{8} \)
Mi trovo però in difficoltà a trovare la somma di questa serie:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{4}} \)
Non posso semplicemente elevare al quadrato la somma della serie precedente, perchè so che il quadrato di una serie non è uguale alla serie dei termini al quadrato.Non so però come scomporre la serie in modo da ricondurla alla prima.
Sapreste darmi una mano, per favore?
Saluti
Enrico
Risposte
L'identita'...
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n -1)^{4}} + \frac{1}{2^{4}}\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{90}$ (1)
... permette di scrivere...
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n -1)^{4}} = (1-\frac{1}{2^{4}})\ \frac{\pi^{4}}{90}$ (2)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n -1)^{4}} + \frac{1}{2^{4}}\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{90}$ (1)
... permette di scrivere...
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n -1)^{4}} = (1-\frac{1}{2^{4}})\ \frac{\pi^{4}}{90}$ (2)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo