Somma di una serie di funzioni

[tenebrikko]

salve a tutti! Non riesco a trovare la somma della senquente serie di funzioni: $\sum_{n=0}^N (x^(2n))/(2n+1)$ allora io ho posto $k=2n$ qundi trovo $\sum_{k=0}^N (x^k)/(k+1)$.
Allora ricordando $int_0^x (\sum_{k=0}^N t^k) dt = \sum_{k=0}^N (\int_0^x t^k dt) = \sum_{k=0}^N (x^(k+1))/(k+1))$.
Adesso riconducendomi alla somma della serie geometrica dove $\sum_{k=0}^N t^k = 1/(1-t)$ divido tutto per $x$ e trovo
$(\int_0^x 1/(1-t))/x$ = $\sum_{k=0}^N (x^k)/(k+1)$ integro e ottengo $-(log(1-x))/x)$
ovvimente sbagliato... devo avere qualche falla di ragionamento ma tra libri e appunti non ne esco.. help!

[gugo82]

Le due serie:
\[
\sum \frac{x^{2n}}{2n+1} \qquad \text{e}\qquad \sum \frac{x^k}{k+1}
\]
sono differenti (infatti nella prima compaiono solo le potenze pari, mentre nella seconda compaiono potenze pari e dispari), quindi non ha senso trasformare l'una nell'altra. Il problema è che nella sostituzione di indici ti sei dimenticato che \(k=2n\) implica che devi sommare solo gli addendi corrispondenti agli indici pari nella seconda serie.

Puoi procedere così:

Hai:
\[
\frac{x^{2n}}{2n+1}=\frac{1}{x}\ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
\]
ergo:
\[
\sum \frac{x^{2n}}{2n+1} =\frac{1}{x}\sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\; ;
\]
ma derivando t.a.t. la serie nel membro destro trovi:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x} \sum \frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\sum x^{2n} =\sum (x^2)^n
\]
sicché:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty (x^2)^n =\frac{1}{1-x^2}
\]
per noti fatti circa la serie geometrica. Integrando i membri esterni della precedente catena hai:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\int_0^x \frac{1}{1-\xi^2}\ \text{d}\xi =\frac{1}{2}\ \ln \frac{1+x}{1-x}
\]
da cui:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} =\frac{1}{x}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\frac{1}{2x}\ \ln \frac{1+x}{1-x}\; .
\]

P.S.: Si intende che il primo addendo della serie assegnata, cioè quello che corrisponde a \(n=0\), sia uguale ad \(1\).

[tenebrikko]

urca... grazie infinite! starò più attento.. e ottima risposta! complimenti!

[theras]

Ciao!

"tenebrikko":
Salve a tutti! Non riesco a trovare la somma della senquente serie di funzioni: $\sum_{n=0}^N (x^(2n))/(2n+1)$ allora io ho posto $k=2n$ qundi trovo $\sum_{k=0}^N (x^k)/(k+1)$.
Allora ricordando $int_0^x (\sum_{k=0}^N t^k) dt = \sum_{k=0}^N (\int_0^x t^k dt) = \sum_{k=0}^N (x^(k+1))/(k+1))$.
Adesso riconducendomi alla somma della serie geometrica dove $\sum_{k=0}^N t^k = 1/(1-t)$ divido tutto per $x$ e trovo
$(\int_0^x 1/(1-t))/x$ = $\sum_{k=0}^N (x^k)/(k+1)$ integro e ottengo $-(log(1-x))/x)$
ovvimente sbagliato... devo avere qualche falla di ragionamento ma tra libri e appunti non ne esco.. help!

La "falla" è tappabile,direi,perchè il resto della tua barca mi sembra solchi bene i mari delle conoscenza,
e mi par buona la rotta che hai,con il rispetto dovuto a quel Mare,tracciato in questo suo attraversamento;
solo che,a parte il fatto che hai messo N dove andava $+oo$( ),hai pure imposto una condizione che ti fà considerare addendi che non ci sono:
magari osserva solo che,per $AAx!=0$ del tuo intervallo di convergenza,avrai
$sum_{n=0}^(+oo)(x^(2n))/(2n+1)=1/xsum_{n=0}^(+oo) (x^(2n+1))/(2n+1)=1/xsum_{n=0}^(+oo) int_(0)^(x)(t^(2n))=$
$=1/x$$int_(0)^(x)sum_{n=0}^(+oo)(t^2)^n=cdots$
Sulla razionale fratta,da integrare per concludere l'esercizio,ci sono un pò di conti,
ma se vuoi hai modo per saltare l'uso del principio d'identità dei polinomi nella determinazione delle costanti
(altrimenti porti un pò di pazienza ):
saluti dal web.
Edit:
Sapevo che la mia amata contemporaneità avrebbe prima o poi fatto danni del genere;
mi scuso con entrambi,
ma ne approfitto per chiedere a Gugo perchè alle volte mi si para davanti la "revisione argomento" prima dell'ultimo invio,
ed altre no:
o sono io che non ho capito,da perfetto novizio ,come fare per farla spuntare ad ogni risposta?