Somma di una serie con fattoriale al denominatore
Salve a tutti, dovrei studiare e calcolare la somma della serie a seguire:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)*n}{n!}$
Per la convergenza non ci sono problemi.
Riguardo la somma, ho dei dubbi.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie a tutti
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)*n}{n!}$
Per la convergenza non ci sono problemi.
Riguardo la somma, ho dei dubbi.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie a tutti
Risposte
"Gandalf73":
Salve a tutti, dovrei studiare e calcolare la somma della serie a seguire:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)*n}{n!}$
Per la convergenza non ci sono problemi.
Riguardo la somma, ho dei dubbi.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie a tutti
Magari...
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)*n}{n!}$
$= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)*n}{n!}$
$= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)}{(n-1)!}$
$= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)}{n!}$
Adesso è più chiaro come procedere?
Grazie mille adesso mi appare chiaro.
A questo punto la somma $ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac(1}{n!} $ dovrebbe essere $ e $ che porta alla $ f(x) $ globale considerando i vari pezzi.
La cosa che non mi è ben chiara è ciò che viene richiesto nei punti a seguire dell'esercizio.
Il calcolo di:
$\int_{-\infty}^{0} f(x)dx $
previa dimostrazione della convergenza di questo.
Mi sono perso qualcosa nel mezzo oppure ho commesso delle evidenti corbellerie?
A questo punto la somma $ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac(1}{n!} $ dovrebbe essere $ e $ che porta alla $ f(x) $ globale considerando i vari pezzi.
La cosa che non mi è ben chiara è ciò che viene richiesto nei punti a seguire dell'esercizio.
Il calcolo di:
$\int_{-\infty}^{0} f(x)dx $
previa dimostrazione della convergenza di questo.
Mi sono perso qualcosa nel mezzo oppure ho commesso delle evidenti corbellerie?
Ciao Gandalf73,
Non è che ti sei perso una $n$ all'esponente oppure quel $\cdot n $ dell'OP in realtà è un elevato alla $n$?
Perché ovviamente $ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)}{n!} = (1+x-x^2) \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} = e(1 + x - x^2) = f(x) $ e $ \int_{-\infty}^{0} f(x) \text{d}x $ non converge...
"Gandalf73":
Mi sono perso qualcosa nel mezzo [...]
Non è che ti sei perso una $n$ all'esponente oppure quel $\cdot n $ dell'OP in realtà è un elevato alla $n$?
Perché ovviamente $ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+x-x^2)}{n!} = (1+x-x^2) \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} = e(1 + x - x^2) = f(x) $ e $ \int_{-\infty}^{0} f(x) \text{d}x $ non converge...
Ed infatti sono rimasto a bocca aperta quando l'ho letto.
Comunque è parte della traccia dell'esame di maturità dell'anno scolastico 1984-1985 per istituti tecnici ad indirizzo informatico (quando la matematica si studiava a fondo
).
L'ho preso nel mio libro di testo (che fu...ahimè) di scuola superiore.
Temo appunto ci sia un errore di stampa.
Sto cercando disperatamente la traccia originale per capire.
Messo così è fuorviante e....non poco!
Chissà se dalla rete esce qualcosa.
Credo sia difficile, visto il tempo trascorso. Non so nemmeno se la matematica sia più stata materia d'esame.
Comunque è parte della traccia dell'esame di maturità dell'anno scolastico 1984-1985 per istituti tecnici ad indirizzo informatico (quando la matematica si studiava a fondo
).L'ho preso nel mio libro di testo (che fu...ahimè) di scuola superiore.
Temo appunto ci sia un errore di stampa.
Sto cercando disperatamente la traccia originale per capire.
Messo così è fuorviante e....non poco!
Chissà se dalla rete esce qualcosa.
Credo sia difficile, visto il tempo trascorso. Non so nemmeno se la matematica sia più stata materia d'esame.
"Gandalf73":
L'ho preso nel mio libro di testo (che fu...ahimè) di scuola superiore.
Temo appunto ci sia un errore di stampa.
Scusa, per curiosità, che libro di testo?
Più o meno in quegli anni presi la maturità scientifica e ho conservato ancora il mio, "Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica" di Giuseppe Zwirner: adesso sarebbe un testo quasi di livello universitario...
Il testo è
"conoscenze e strategie nella matematica - Argomenti di Analisi" di Zwirner-Scaglianti.
Per alcune cose, al giorno d'oggi è di livello superiore.
La matematica al tempo si faceva davvero.
La mia maturità marca primi anni '90.
All'interno c'erano le tracce della seconda prova (che per gli informatici poteva anche essere matematica).
Messa a confronto con i programmi di oggi...mi lascia a bocca aperta.
Provo a cercare le tracce originali magari in qualche archivio spunta se le nostre considerazioni sono fondate.
La cosa interessante è che gli esercizi sono molto molto istruttivi.
Alla stregua di qualche appello di Analisi I/II ed addirittura III (per Laplace e Fourier non per l'analisi complessa ovviamente).
"conoscenze e strategie nella matematica - Argomenti di Analisi" di Zwirner-Scaglianti.
Per alcune cose, al giorno d'oggi è di livello superiore.
La matematica al tempo si faceva davvero.
La mia maturità marca primi anni '90.
All'interno c'erano le tracce della seconda prova (che per gli informatici poteva anche essere matematica).
Messa a confronto con i programmi di oggi...mi lascia a bocca aperta.
Provo a cercare le tracce originali magari in qualche archivio spunta se le nostre considerazioni sono fondate.
La cosa interessante è che gli esercizi sono molto molto istruttivi.
Alla stregua di qualche appello di Analisi I/II ed addirittura III (per Laplace e Fourier non per l'analisi complessa ovviamente).
@pilloeffe:avevi ragione comunque.L'ho verificato in lungo ed in largo.
Nel testo viene fornita una considerazione per la valutazione di $ f(1/x) $.
In essa si riportano in tabella i valori di $ f(x) $ e.....sono quelli nel caso avessimo
$ e^(1 + x - x^2) = f(x) $.
A questo punto hanno senso compiuto le due richieste successive:
a) Mostrare per confronto che $ \int_{-\infty}^{0} f(x) \text{d}x $ è convergente
b) trovare una opportuna funzione $ g(x) $ tale per cui risulti
$ \int_{-\infty}^{0} f(x) \text{d}x < e $.
Teniamo conto che fu la seconda prova scritta di un esame di maturità
Direi che non c'è male
Nel testo viene fornita una considerazione per la valutazione di $ f(1/x) $.
In essa si riportano in tabella i valori di $ f(x) $ e.....sono quelli nel caso avessimo
$ e^(1 + x - x^2) = f(x) $.
A questo punto hanno senso compiuto le due richieste successive:
a) Mostrare per confronto che $ \int_{-\infty}^{0} f(x) \text{d}x $ è convergente
b) trovare una opportuna funzione $ g(x) $ tale per cui risulti
$ \int_{-\infty}^{0} f(x) \text{d}x < e $.
Teniamo conto che fu la seconda prova scritta di un esame di maturità
Direi che non c'è male
"Gandalf73":
@pilloeffe:avevi ragione comunque.L'ho verificato in lungo ed in largo.
Nel testo viene fornita una considerazione per la valutazione di $f(1/x) $.
In essa si riportano in tabella i valori di $f(x)$ e.....sono quelli nel caso avessimo
$ e^{1+x−x^2} = f(x)$.
Grazie, lo immaginavo: dunque l'errore di stampa è quel $(1 + x - x^2) \cdot n $ che in realtà va corretto in $(1 + x - x^2)^n $
"Gandalf73":
Il calcolo di:
$\int_{-\infty}^0 f(x)\text{d}x $
previa dimostrazione della convergenza di questo.
Questo mi lascia comunque perplesso, perché certo è fattibile, ma non è proprio banalissimo:
$\int_{-\infty}^0 f(x)\text{d}x = \int_{-\infty}^0 e^{1+x−x^2}\text{d}x = \int_{-\infty}^0 e^{-(x^2 - x - 1)}\text{d}x = \int_{-\infty}^0 e^{-(x - 1/2)^2 + 5/4}\text{d}x = $
$ = e^{5/4} \int_{-\infty}^0 e^{-(x - 1/2)^2}\text{d}x = ... = sqrt{\pi}/2 e^{5/4} \text{erfc}(1/2) ~~ 1,48321 $
Soprattutto tenendo conto che si è trattato della seconda prova scritta di un esame di maturità!
Immagino che se dei professori si azzardassero a proporla oggi riceverebbero minacce di morte...
"Gandalf73":
a) Mostrare per confronto che $ \int_{-\infty}^0 f(x)\text{d}x $ è convergente
Ecco, questa invece mi pare più ragionevole...
"Gandalf73":
b) trovare una opportuna funzione $g(x)$ tale per cui risulti
$ \int_{-\infty}^0 f(x)\text{d}x
Questa invece non l'ho capita, forse intendevi scrivere $ \int_{-\infty}^0 g(x)\text{d}x
Fermo restando che a breve mi arriva il testo vero e proprio impresso in una delle tante riviste del tempo e verifichiamo subito, ma qui ho errato io nello scrivere il quesito.
Si chiedeva di dimostrare la convergenza dell'integrale (per confronto) e non di calcolarlo.
Successivamente di trovare una opportuna funzione $ g(x) $ (di cui fosse noto l'integrale) che consentisse di effettuare una maggiorazione pervenendo alla conclusione che l'integrale della $ f(x) $ originaria fosse $ < e^1 $.
Comunque la si osservi è però molto, molto pesante per un esame di maturità eh...?:-)Eppure la matematica si insegnava a quei livelli...confermo i programmi del tempo...
Si chiedeva di dimostrare la convergenza dell'integrale (per confronto) e non di calcolarlo.
Successivamente di trovare una opportuna funzione $ g(x) $ (di cui fosse noto l'integrale) che consentisse di effettuare una maggiorazione pervenendo alla conclusione che l'integrale della $ f(x) $ originaria fosse $ < e^1 $.
Comunque la si osservi è però molto, molto pesante per un esame di maturità eh...?:-)Eppure la matematica si insegnava a quei livelli...confermo i programmi del tempo...
"Gandalf73":
Si chiedeva di dimostrare la convergenza dell'integrale (per confronto) e non di calcolarlo.
Successivamente di trovare una opportuna funzione $g(x)$ (di cui fosse noto l'integrale) che consentisse di effettuare una maggiorazione pervenendo alla conclusione che l'integrale della $f(x)$ originaria fosse $
Ah ok, questo sembra più ragionevole... Infatti basta prendere $ g(x) := e^{1 + x} $ che si ha:
$ \int_{-\infty}^0 f(x)\text{d}x = \int_{-\infty}^0 e^{1+x−x^2}\text{d}x <= \int_{-\infty}^0 e^{1 + x} \text{d}x = e \int_{-\infty}^0 e^{x}\text{d}x = e [e^x]_{-\infty}^0 = e $
E quindi più abbordabile.
Per la convergenza basterebbe maggiorarla con l'erf (per confronto si chiede) ed i quesiti mi sembrano abbastanza accessibili.
Più "calcoloso" era quello in cui si chiedeva il calcolo degli zeri di $ x-f(x) $.
Poi c'era il disegno di $ f(x) $ e di $ f(1/x) $ (dedotto dalla prima) ed il tracciamento del dominio di una funzione a due variabili.
Comunque nel complesso non era proprio banale. Con i programmi attuali credo sia difficoltosetto.....
Per la convergenza basterebbe maggiorarla con l'erf (per confronto si chiede) ed i quesiti mi sembrano abbastanza accessibili.
Più "calcoloso" era quello in cui si chiedeva il calcolo degli zeri di $ x-f(x) $.
Poi c'era il disegno di $ f(x) $ e di $ f(1/x) $ (dedotto dalla prima) ed il tracciamento del dominio di una funzione a due variabili.
Comunque nel complesso non era proprio banale. Con i programmi attuali credo sia difficoltosetto.....
Puoi postare un link a qualche esame di maturità recente per lo stesso istituto? Così lo confrontiamo con questo e vediamo se realmente c'è stata una grande diminuzione della qualità dell'insegnamento, o se è solo un "perspective gap". Tendenzialmente sarei d'accordo con te nel credere che una volta le cose andavano meglio. Ma si sa che questi argomenti possono essere fallaci ("quando c'era lui, i treni arrivavano in orario...").
Partendo dalla richiesta di @dissonance, colgo l'occasione per dire la mia.
L'argomento mi affascina perchè ho sempre pensato il contrario, ovvero che i compiti di maturità siano diventati più difficili nel tempo. Lo dico perchè penso alla mia maturità (1988) e al fatto che per anni mi sono divertito a risolvere le successive maturità scientifiche. E guardando all'ultima decade, inevitabilmente pensavo "minchiula, io non avrei avuto gli strumenti nemmeno per accennare una soluzione".
Però questo non implica che negli anni 70 gli esami/programmi non fossero decisamente più seri e intensivi.
Infatti, il mitico/odiato Zwirner era un testo di riferimento e decisamente avanzato per il programma di matematica dello scientifico della mia era: questo apre spiragli verosimili su come fossero i programmi in precedenza.
Forse sarebbe meglio aprire un thread dedicato da un'altra parte...
L'argomento mi affascina perchè ho sempre pensato il contrario, ovvero che i compiti di maturità siano diventati più difficili nel tempo. Lo dico perchè penso alla mia maturità (1988) e al fatto che per anni mi sono divertito a risolvere le successive maturità scientifiche. E guardando all'ultima decade, inevitabilmente pensavo "minchiula, io non avrei avuto gli strumenti nemmeno per accennare una soluzione".
Però questo non implica che negli anni 70 gli esami/programmi non fossero decisamente più seri e intensivi.
Infatti, il mitico/odiato Zwirner era un testo di riferimento e decisamente avanzato per il programma di matematica dello scientifico della mia era: questo apre spiragli verosimili su come fossero i programmi in precedenza.
Forse sarebbe meglio aprire un thread dedicato da un'altra parte...
"Bokonon":
Forse sarebbe meglio aprire un thread dedicato da un'altra parte...
Qui non è completamente OT. Puoi postare un link a qualche esercizio dello stesso esame di maturità del post iniziale? Io non saprei dove trovarli. In questo modo li possiamo comparare concretamente.
Poi se vuoi si può benissimo aprire una discussione in Generale, ma lì sarà sicuramente dirottata su una conversazione più discorsiva e meno oggettiva. Anche quello può essere interessante, ma sono cose diverse.
"dissonance":
Qui non è completamente OT. Puoi postare un link a qualche esercizio dello stesso esame di maturità del post iniziale? Io non saprei dove trovarli.
Ho trovato questo .pdf https://francofusier.xoom.it/Allegati/tutti_temi.pdf
Ad una prima scorsa, l'evoluzione dei temi è passata dalla pura geometria allo studio di funzioni (anni 70).
Successivamente i quesiti che coniugano geometria e analisi sono diventati più o meno standard e infine si sono aggiunte stabilmente domande di teoria.
La raccolta si ferma al 2006. Successivamente ho visto quesiti assai creativi (come la bicicletta a ruote quadrate) + equazioni differenziali + quesiti di algebra lineare (o meglio dire analoghi a questo thread https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1&t=215161 ).
Infine le domande di fisica + statistica.
A me pare proprio che i programmi si siano estesi parecchiotto negli anni.
Ciao,
fermo restando che il programma dei licei scientifici era diverso da quello di "matematica applicata" degli istituti tecnici ad indirizzo informatico, purtroppo non riesco a trovare tutte le vecchie tracce in cui la seconda prova scritta era appunto non informatica bensì matematica applicata (a partire dal momento di introduzione della specializzazione informatica)
Dall'appendice del vecchio testo di quinta si evince che matematica applicata, nel ventennio '70-'90 venne proposta per 4 volte come seconda prova scritta.
Non era sulla falsariga di quella del liceo scientifico,
bensì comprendeva equazioni differenziali e/o studio di funzione e/o metodi iterativi e/o serie di Fourier e/o trasformate di Laplace e/o serie di potenze da cui ne deriva appunto la diversità dei programmi di studio.
ps per il post, se mi suggerite cosa inserire nel titolo ed in quale sezione porre il/i quesito/i , non ci sono problemi, magari aiuteremmo anche i neo maturandi nella preparazione visto che quelle vecchie tracce non sono di facile reperimento
fermo restando che il programma dei licei scientifici era diverso da quello di "matematica applicata" degli istituti tecnici ad indirizzo informatico, purtroppo non riesco a trovare tutte le vecchie tracce in cui la seconda prova scritta era appunto non informatica bensì matematica applicata (a partire dal momento di introduzione della specializzazione informatica)
Dall'appendice del vecchio testo di quinta si evince che matematica applicata, nel ventennio '70-'90 venne proposta per 4 volte come seconda prova scritta.
Non era sulla falsariga di quella del liceo scientifico,
bensì comprendeva equazioni differenziali e/o studio di funzione e/o metodi iterativi e/o serie di Fourier e/o trasformate di Laplace e/o serie di potenze da cui ne deriva appunto la diversità dei programmi di studio.
ps per il post, se mi suggerite cosa inserire nel titolo ed in quale sezione porre il/i quesito/i , non ci sono problemi, magari aiuteremmo anche i neo maturandi nella preparazione visto che quelle vecchie tracce non sono di facile reperimento
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