Somma di una serie
Ho questa serie:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n}
\]
Ho verificato che converge in \(I=\{z \in \mathbb{C} : |z|<1\} \). Adesso ne devo calcolare la somma. Penso sia semplice, ma non mi viene in mente. Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.
\[
\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n}
\]
Ho verificato che converge in \(I=\{z \in \mathbb{C} : |z|<1\} \). Adesso ne devo calcolare la somma. Penso sia semplice, ma non mi viene in mente. Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.
Risposte
Deriva la geometrica 
Ci provo senza esserne certo:
$\sum_{n=0}^{+oo}n\ z^n=\sum_{n=0}^{+oo} z\ (z^n)' = z(\sum_{n=0}^{+oo}\ z^n)'$
quindi concludi tu.....
PS. Ok Paolo90 mi conferma della sostanziale correttezza....
$\sum_{n=0}^{+oo}n\ z^n=\sum_{n=0}^{+oo} z\ (z^n)' = z(\sum_{n=0}^{+oo}\ z^n)'$
quindi concludi tu.....
PS. Ok Paolo90 mi conferma della sostanziale correttezza....
Quindi
\[
\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n}=z\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}
\]
e di conseguenza la somma della serie risulta essere la derivata della somma della serie geometrica, cioè \(\frac{z}{(z-1)^{2}}\)?
\[
\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n}=z\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}
\]
e di conseguenza la somma della serie risulta essere la derivata della somma della serie geometrica, cioè \(\frac{z}{(z-1)^{2}}\)?
Sì, direi di sì.
Ovviamente, tutto funziona grazie alle proprietà delle serie di potenze (in particolare, grazie al fatto che esse definiscono funzioni olomorfe).
Ovviamente, tutto funziona grazie alle proprietà delle serie di potenze (in particolare, grazie al fatto che esse definiscono funzioni olomorfe).
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