Somma di una serie
Buona sera. Ho dei problemi per quanto riguarda l'individuare la somma di una serie (spesso anche numerica) dovuto al fatto che non ho capito come si procede. Purtroppo il libro porta esercizi, ma non esempi, e allora pure con le tipologie davvero banali, non sapendo il metodo, non so come affrontarle. Dove posso trovre dispense su questo sito riguardo l'argomento? Su internet non ho trovato davvero nulla, se non esercizi.. Un esempio di somma di serie banale che non riesco a risolvere è
$ sum 1/(n! ) $, con risultato $e-1$ . So che $ sum 1/((n-1)! )=e $ , ma ho seri problemi di fondo su come continuare... Forse scomponendo il fattoriale come $ sum 1/(n(n-1)!) $ ? E poi è corretto scriverlo come $ sum 1/(n) * sum1/((n-1)!) $ ? Grazie per l'aiuto, penso di avere conoscenze errate, quindi di aver sbagliato qualche passaggio. In tal caso vorrei capire dove sbaglio
$ sum 1/(n! ) $, con risultato $e-1$ . So che $ sum 1/((n-1)! )=e $ , ma ho seri problemi di fondo su come continuare... Forse scomponendo il fattoriale come $ sum 1/(n(n-1)!) $ ? E poi è corretto scriverlo come $ sum 1/(n) * sum1/((n-1)!) $ ? Grazie per l'aiuto, penso di avere conoscenze errate, quindi di aver sbagliato qualche passaggio. In tal caso vorrei capire dove sbaglio
Risposte
Ma scusa, considera le somme finite e guarda di aggiustarle. Intanto, direi proprio che \( (n-1)!\neq n(n-1)!\) nel modo più assoluto. Ma quella decomposizione non ti servirà a nulla. Nota, invece, che
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(k-1)!}-1\]
e quindi passando al limite hai concluso.
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(k-1)!}-1\]
e quindi passando al limite hai concluso.
Tutto dipende da dove fai partire la serie. Finchè non non lo scrivi ha poco senso dire che quella somma abbia risultato $e$ piuttosto che $e-1$.
Se ti può interessare: $ sum_(n = 0)^(+oo) 1/(n!)=e $, mentre $ sum_(n = 1)^(+oo) 1/(n!)=e -1 $ .
Se ti può interessare: $ sum_(n = 0)^(+oo) 1/(n!)=e $, mentre $ sum_(n = 1)^(+oo) 1/(n!)=e -1 $ .
Si, scusa Richard, ho sbagliato a scrivere la scomposizionedel fattoriale. Piuttosto, e mi riferisco anche a Giuly19, quel $-1$ da dove esce? Vorrei capirlo, scusatemi :S
Ad esempio, un altro esercizio chiede di trovare la somma di $ sum_(n=1)^(infty)x^n * (ln3)^(n-1)/((n-1)!) $ . Io so che $ sum_(n=1)^(infty)x^(n-1) * (ln3)^(n-1)/((n-1)!)=e^(xln3)=3^x $. Quindi, per ricondurmi a questa forma, moltiplico e divido per $x$ la mia serie, che sarà $ sum_(n=1)^(infty)x^(n-1)*x * (ln3)^(n-1)/((n-1)!)=xe^(xln3)=x3^x $ . Il risultato è esatto, ma il mio ragionamento è coretto o "forzato"? Grazie
Ad esempio, un altro esercizio chiede di trovare la somma di $ sum_(n=1)^(infty)x^n * (ln3)^(n-1)/((n-1)!) $ . Io so che $ sum_(n=1)^(infty)x^(n-1) * (ln3)^(n-1)/((n-1)!)=e^(xln3)=3^x $. Quindi, per ricondurmi a questa forma, moltiplico e divido per $x$ la mia serie, che sarà $ sum_(n=1)^(infty)x^(n-1)*x * (ln3)^(n-1)/((n-1)!)=xe^(xln3)=x3^x $ . Il risultato è esatto, ma il mio ragionamento è coretto o "forzato"? Grazie
Quel \(-1\) te l'ho fatto vedere io da dove viene. Comunque Giuly ha ragione, devi specificare da dove parte la serie. Assumento che parta da \(k=1\), io ti ho fatto vedere che
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(k-1)!}-1\to e-1\]
quando \(n\to\infty\).
Per la seconda serie, il tuo ragionamento è corretto, visto che \(x\) non dipende dall'indice di sommazione.
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{(k-1)!}-1\to e-1\]
quando \(n\to\infty\).
Per la seconda serie, il tuo ragionamento è corretto, visto che \(x\) non dipende dall'indice di sommazione.
Okok. Per l'identico tipo di esercizi, non capisco perché $ sum_(n = 1)^(infty) (sinx)^(n+1)/(n!) $ ha per somma $ senx*(e^(sinx)-1) $ ? Ho provato, usando la forma nota $ sum_(n = 1)^(infty) (senx)^(n-1)/((n-1)!)=e^sinx $ , a portarlo come $ sum_(n = 1)^(infty) (senx)^(n-1)/((n-1)!)*(sin^2x)/n $ , ma sinceramente non so dove mi possa portare... Questo perché forse faccio passaggi inutili? Purtroppo è il metodo da usare che non capisco
Come prima: al finito
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin^{n+1}(x)}{n!}=\sin(x)\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{\sin^n(x)}{n!}=\sin(x)\left(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\sin^{n-1}(x)}{(n-1)!}-1\right)\]
e passando al limite per \(n\to \infty\) si ottiene la tesi.
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin^{n+1}(x)}{n!}=\sin(x)\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{\sin^n(x)}{n!}=\sin(x)\left(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\sin^{n-1}(x)}{(n-1)!}-1\right)\]
e passando al limite per \(n\to \infty\) si ottiene la tesi.
Perfetto, grazie! Gli esercizi seguenti mi vengono, grazie per avermelo fatto capire! Solo uno non riesco a risolverlo. Trovare la somma della serie $ sum_(n = 1)^(infty) 1/((n+2)!) $ . Dovrebbe risultare $ e-5/2 $ . Ho fatto come hai detto tu:
$ sum_(k = 1)^(n) 1/((n+2)!)=sum_(k = 1)^(n+3) 1/((n-1)!) -3 $ . Ma non sono sicuro di questa uguglianza. Dove sbaglio? Grazie ancora!
$ sum_(k = 1)^(n) 1/((n+2)!)=sum_(k = 1)^(n+3) 1/((n-1)!) -3 $ . Ma non sono sicuro di questa uguglianza. Dove sbaglio? Grazie ancora!
Sbagli perché nella seconda uguaglianza non devi togliere gli indici, ma le componenti che corrispondono a quegli indici. Ossia, chiamando \(a_n = \frac{1}{(n-1)!}\), l'uguaglianza giusta è questa:
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+2)!}=\sum_{k=1}^{n+3}\frac{1}{(n-1)!}-a_1-a_2-a_3\]
Formalmente, e per amor della precisione, bisognerebbe cambiare l'indice di sommatoria. Infatti, supponiamo di aver trovato che per qualche intero \(\alpha\geq 1\)
\[\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=\alpha}^{n+\alpha}b_k\]
Allora con la posizione \(j=k-\alpha+1\) otteniamo
\[\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{j=1}^{n+\alpha}b_j-a_1-a_2-\ldots-a_\alpha\]
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+2)!}=\sum_{k=1}^{n+3}\frac{1}{(n-1)!}-a_1-a_2-a_3\]
Formalmente, e per amor della precisione, bisognerebbe cambiare l'indice di sommatoria. Infatti, supponiamo di aver trovato che per qualche intero \(\alpha\geq 1\)
\[\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=\alpha}^{n+\alpha}b_k\]
Allora con la posizione \(j=k-\alpha+1\) otteniamo
\[\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{j=1}^{n+\alpha}b_j-a_1-a_2-\ldots-a_\alpha\]
Ok, perfetto! Ho capito, Il mio errore stava nel fatto che sottraevo gli indici e non i valori che la succesione assumeva per quegli indici 
Grazie mille!
Approfitto del thread per chiederti una sottigliezza teorica riguardo le serie di potenze. La serie $ sum_(n=1)^(infty) (x-3)^(n-1)/(n-6) $ (è un esempio, l'ho inventata al momento) è considerata comunqe una serie di potenze? Cioè che mi preoccupa è la potenza $n-1$. E se fosse stata con potenza $n-7$ (ossia tale che risulti potenza negativa per l'indice di partenza della serie)?
Grazie mille! Approfitto del thread per chiederti una sottigliezza teorica riguardo le serie di potenze. La serie $ sum_(n=1)^(infty) (x-3)^(n-1)/(n-6) $ (è un esempio, l'ho inventata al momento) è considerata comunqe una serie di potenze? Cioè che mi preoccupa è la potenza $n-1$. E se fosse stata con potenza $n-7$ (ossia tale che risulti potenza negativa per l'indice di partenza della serie)?
Una serie di potenze è questa cosa qua: $ sum_(n = 0)^(+oo) a_n(x-x_0)^n $ .
E' ovvio che il termine generale è una successione di funzioni, in cui ogni funzione, al variare di n, deve essere definita sul medesimo intervallo!
E' ovvio che il termine generale è una successione di funzioni, in cui ogni funzione, al variare di n, deve essere definita sul medesimo intervallo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo