Somma di una serie
Salve a tutti, ho un problema con due esercizi riguardo le serie e spero che mi possiate aiutare:
1) determinare l'insieme dei punti sull'asse reale in cui la serie $ 1 / x+2 / (x)^(2)+...+n / (x)^(n)+..... $ converge e determinare anche la sua somma.
Per la convergenza se non mi sbaglio è $ -1 < x < 1 $ mentre per determinare la sua somma ho provato a fare qualche sostituzione per ricondurmi a qualche serie nota ma poi mi blocco.
2)Sviluppar la funzione f(x)= $ 3 / [(1-x)(1+2x)] $ in serie di potenze in un opportuno intorno dell'origine, determinando qual'è questo intorno.
In questo caso per quanto riguarda il primo esercizio si vede che ci si può ricondurre ad una serie nota quale $ sum (x)^(n) $ però poi l'altra parte non riesco a svolgerla..potreste aiutarmi???grazie mille!
1) determinare l'insieme dei punti sull'asse reale in cui la serie $ 1 / x+2 / (x)^(2)+...+n / (x)^(n)+..... $ converge e determinare anche la sua somma.
Per la convergenza se non mi sbaglio è $ -1 < x < 1 $ mentre per determinare la sua somma ho provato a fare qualche sostituzione per ricondurmi a qualche serie nota ma poi mi blocco.
2)Sviluppar la funzione f(x)= $ 3 / [(1-x)(1+2x)] $ in serie di potenze in un opportuno intorno dell'origine, determinando qual'è questo intorno.
In questo caso per quanto riguarda il primo esercizio si vede che ci si può ricondurre ad una serie nota quale $ sum (x)^(n) $ però poi l'altra parte non riesco a svolgerla..potreste aiutarmi???grazie mille!
Risposte
Il punto 1 è semplicemente errato: la data serie non può convergere in [tex]$0$[/tex].
Chiedo scusa hai ragione..è stata una piccola distrazione..ad ogni modo il raggio di convergenza dovrebbe essere questo escluso lo 0 perchè per quello che sono riuscito a fare io ci si può ricondurre alla serie nota $ sum (x)^(n) $ che ha raggio di convergenza $ -1 < x < 1 $ .
Scusami, ma se la tua serie è questa
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{x^k}[/tex]
come fai a dire che ha lo stesso comportamento di [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}x^k[/tex]?
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{x^k}[/tex]
come fai a dire che ha lo stesso comportamento di [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}x^k[/tex]?
Dopo un cambio di variabile, un'aggiustamento dell'esponente e uno scambio serie/derivata ti ci puoi riportare...
Alla fine mutatis mutandis ti basta studiare quella! (è ovvio che le due serie non avranno lo stesso comportamento!!!)
Alla fine mutatis mutandis ti basta studiare quella! (è ovvio che le due serie non avranno lo stesso comportamento!!!)
non ha lo stesso comportamento. Spiego più in dettaglio il mio ragionamento che magari è anche sbagliato:
la mia serie è $ sum n / x^n $ . Da qui ho posto $ 1 / x^n = t^n $ così che la mia serie diventa $ sum nt^n $. Ora questa somma mi ricorda, a meno degli indici, la derivata della serie nota $ sum x^n $ che sarebbe esplicitamente $ sum nx^(n-1) $ .Questo è il mio punto d'arrivo da dove non riesco più a proseguire.
la mia serie è $ sum n / x^n $ . Da qui ho posto $ 1 / x^n = t^n $ così che la mia serie diventa $ sum nt^n $. Ora questa somma mi ricorda, a meno degli indici, la derivata della serie nota $ sum x^n $ che sarebbe esplicitamente $ sum nx^(n-1) $ .Questo è il mio punto d'arrivo da dove non riesco più a proseguire.
Tirando fuori dalla somma una $t$ arrivi proprio là! Ora ti basta applicare il teorema di derivazione per serie (quella serie in $(-1,1)$ converge totalmente) e rifare al contrario la sostituzione. Però occhio anche all'intervallo di convergenza che non è quello che avevi scritto prima!
Eccellente, ricordavo una cosa del genere.
Si tratta, presumo, di notare che, posto [tex]y=1/x[/tex]
[tex]\displaystyle G(y)=\sum_{k=0}^{n} y^k \Rightarrow G^{\prime}(y)=\sum_{k=1}^{n} k y^{k-1}\Rightarrow yG^{\prime}(y)=\sum_{k=1}^{n}k y ^k[/tex]
e ricordando che [tex]\displaystyle G(y)=\frac{y^{n+1}-1}{y-1}\text{ quando }|y|<1[/tex] non è difficile trovare una forma chiusa per quella somma.
Si tratta, presumo, di notare che, posto [tex]y=1/x[/tex]
[tex]\displaystyle G(y)=\sum_{k=0}^{n} y^k \Rightarrow G^{\prime}(y)=\sum_{k=1}^{n} k y^{k-1}\Rightarrow yG^{\prime}(y)=\sum_{k=1}^{n}k y ^k[/tex]
e ricordando che [tex]\displaystyle G(y)=\frac{y^{n+1}-1}{y-1}\text{ quando }|y|<1[/tex] non è difficile trovare una forma chiusa per quella somma.
Grazie ragazzi credo di aver capito l'inghippo che avevo..mi mancava l'ultima scintilla 
scusate se abuso ancora della vostra pazienza ma avete qualche idea per la seconda serie??
La mia idea era quella di ragionare su due serie diverse e percorrere una strada simile a questa ma poi dovrei applicare il prodotto di Cauchy tra due serie e la cosa credo si complichi!sono abbastanza sicuro che ci sia una strada più veloce!
scusate se abuso ancora della vostra pazienza ma avete qualche idea per la seconda serie??
La mia idea era quella di ragionare su due serie diverse e percorrere una strada simile a questa ma poi dovrei applicare il prodotto di Cauchy tra due serie e la cosa credo si complichi!sono abbastanza sicuro che ci sia una strada più veloce!
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