Somma di una serie
Allora ho qui per voi una domandina che probabilmente risulterà facile facile
ma francamente non trovo risposta
Devo calcolare la somma di serie di questo tipo:
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^n}$
$sum_{n=1}^\infty\frac{-1}{3*n*2^n}$
non essendo una tipologia nota, telescopiche o equiparabili a serie di mclaurin come faccio???
ma francamente non trovo risposta
Devo calcolare la somma di serie di questo tipo:
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^n}$
$sum_{n=1}^\infty\frac{-1}{3*n*2^n}$
non essendo una tipologia nota, telescopiche o equiparabili a serie di mclaurin come faccio???
Risposte
"Mathematico":
Mi sa che hai saltato un segno:
$(-1/3) \sum_{n=1}^\infty (1/2)^n/n = (-1/3)(-log(1/2)) = (1/3)log(1/2) = log(\root(3)(1/2))$
Ti trovi?
sisisi torna tutto avevo saltato il - del logaritmo
ora è chiaro grazie
"Mathematico":
Un po' OT e un po' no.
Gugo82, con Wolfram alpha (che comunque utilizza mathematica per fare i conti) mi risulta che nella serie intervengono le funzioni di Bessel di primo tipo. Come hai fatto ad avere una espressione così "bellina"? (leggerò domani una ipotetica risposta buonanotte,:-D)
Semplicemente mettendo $x$ al posto di $2$...
Insomma, l'idea era quella d'introdurre una variabile in modo da ottenere una serie di potenze con una somma "abordabile".
Ragazzi sposto un attimo il topic della discussione dalla somma al carattere di una serie!
ho la seguente serie
$ \sum_{n=1}^\infty sqrt(4n+1) sin(1/n^2) $
Ho provato a studiare la serie applicando i principi dell'asintotica equivalenza e la serie mi risulta essere divergente!
La traccia dell'esercizio mi chiede di studiare la convergenza normale ed assoluta della serie! Non ho capito in cosa consista la differenza!
Grazie in anticipo per l'aiuto.
ho la seguente serie
$ \sum_{n=1}^\infty sqrt(4n+1) sin(1/n^2) $
Ho provato a studiare la serie applicando i principi dell'asintotica equivalenza e la serie mi risulta essere divergente!
La traccia dell'esercizio mi chiede di studiare la convergenza normale ed assoluta della serie! Non ho capito in cosa consista la differenza!
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Facendo bene i conti si vede che la serie è asintoticamente equivalente ad una serie armonica generalizzata convergente... Quindi hai sbagliato qualche passaggio; prova a postare due conti.
Per quanto riguarda la differenza tra convergenza semplice (ossia convergenza della serie $\sum a_n$) e convergenza assoluta (ossia convergenza della serie dei moduli $\sum |a_n|$), c'è da segnalare che la seconda implica la prima e che in generale non vale il viceversa (ad esempio $\sum (-1)^n/n$ converge semplicemente -per Leibniz- ma non converge assolutamente, in quanto la serie dei moduli è la serie armonica $\sum 1/n$ che è notoriamente divergente).
Quindi per studiare la convergenza semplice basta dire se la serie $\sum a_n$ converge; mentre per studiare la convergenza assoluta devi controllare che converga $\sum |a_n|$.
Ovviamente se la serie $\sum a_n$ è a termini non negativi (come nel caso in esame, no?) allora le due nozioni di convergenza diventano equivalenti.
Per quanto riguarda la differenza tra convergenza semplice (ossia convergenza della serie $\sum a_n$) e convergenza assoluta (ossia convergenza della serie dei moduli $\sum |a_n|$), c'è da segnalare che la seconda implica la prima e che in generale non vale il viceversa (ad esempio $\sum (-1)^n/n$ converge semplicemente -per Leibniz- ma non converge assolutamente, in quanto la serie dei moduli è la serie armonica $\sum 1/n$ che è notoriamente divergente).
Quindi per studiare la convergenza semplice basta dire se la serie $\sum a_n$ converge; mentre per studiare la convergenza assoluta devi controllare che converga $\sum |a_n|$.
Ovviamente se la serie $\sum a_n$ è a termini non negativi (come nel caso in esame, no?) allora le due nozioni di convergenza diventano equivalenti.
Scusami tanto ma ho sbagliato a scrivere 
intendevo Convergente!
Cmq per sicurezza ti posto i calcoli:
$ sin(1/n^2) => 1/n^2 $
$ 4n+1 => 4n $
$ sqrt(4n) 1/n^2 $
da qui dovrei ottenere una serie armonica del genere
$ 1/(4n)^(3/2) $
Grazie per la risposta alla mia domanda! Ma ne ho un'altra da farti
Esiste un metodo comune per la maggior parte delle serie per calcolare correttamente la somma?
intendevo Convergente!Cmq per sicurezza ti posto i calcoli:
$ sin(1/n^2) => 1/n^2 $
$ 4n+1 => 4n $
$ sqrt(4n) 1/n^2 $
da qui dovrei ottenere una serie armonica del genere
$ 1/(4n)^(3/2) $
Grazie per la risposta alla mia domanda! Ma ne ho un'altra da farti
Esiste un metodo comune per la maggior parte delle serie per calcolare correttamente la somma?
"xsl":
Scusami tanto ma ho sbagliato a scrivere
Cmq per sicurezza ti posto i calcoli:
$ sin(1/n^2) => 1/n^2 $
$ 4n+1 => 4n $
$ sqrt(4n) 1/n^2 $
da qui dovrei ottenere una serie armonica del genere
$ 1/(4n)^(3/2) $
Grazie per la risposta alla mia domanda! Ma ne ho un'altra da farti
Esiste un metodo comune per la maggior parte delle serie per calcolare correttamente la somma?
secondo me $ 1/(4n)^(3/2) $ converge perchè è una serie del tipo $1/n^p$ con p>1 quindi convergente
per il metodo generalizzato non creda esista
normalmente calcolare la soma di una serie è abbastanza difficile e per questo ci si accontenta della convergenza o divergenza
però in certi casi tipo Telescopiche o come quelle postate da me sono approssimabili con Taylor o mclaurin che poi sono la stessa cosa con la differenza del centro in x0=0.
"Gugo82":
Semplicemente mettendo $x$ al posto di $2$...
Insomma, l'idea era quella d'introdurre una variabile in modo da ottenere una serie di potenze con una somma "abordabile".
Grazie, non c'avevo pensato
"xsl":
[...]Esiste un metodo comune per la maggior parte delle serie per calcolare correttamente la somma?
Non esiste un metodo generale per determinare la somma di una serie purtroppo.
Quando la serie si presenta nella forma $\sum_{n=0}^\infty a_{n} x^n$, cioè abbiamo una serie di potenze, allora potremmo sfruttare gli sviluppi in serie di Taylor . Non sempre però è così immedito (vedi post Gugo82).
Scusate ancora una volta!
Ho la seguente serie a segni alterni
$ sum_(n=0)^(infty) (-1)^n/(3^n-150n) $
Va risolta con il criterio di Leibnitz secondo il quale la serie per essere considerata convergente deve risultare
a) il termine generico è infinitesimo ($ lim_(n->infty) an = 0 $);
b) la serie è decrescente ($ a_(n+1) < a_(n) $);
Secondo i calcoli fatti:
a) il limite è uguale ad $infty$
b) risulta $ 3^n - 150n < 3^(n+1) - 150(n+1) $
La serie è convergente o divergente??
Inoltre, il testo dice che la disequazione del punto b si riduce a: $75<3^3$
Come è possibile?
Ho la seguente serie a segni alterni
$ sum_(n=0)^(infty) (-1)^n/(3^n-150n) $
Va risolta con il criterio di Leibnitz secondo il quale la serie per essere considerata convergente deve risultare
a) il termine generico è infinitesimo ($ lim_(n->infty) an = 0 $);
b) la serie è decrescente ($ a_(n+1) < a_(n) $);
Secondo i calcoli fatti:
a) il limite è uguale ad $infty$
b) risulta $ 3^n - 150n < 3^(n+1) - 150(n+1) $
La serie è convergente o divergente??
Inoltre, il testo dice che la disequazione del punto b si riduce a: $75<3^3$
Come è possibile?
il limite non tende a infinito ma a 0
sicuro che la disequazione non dia $75<3^n$
sicuro che la disequazione non dia $75<3^n$
Ok come si giunge a quella disequazione?
beh però questo non è un problema di serie ma di puro calcolo
cmq viene così:
$3^n-150n<3^(n+1)-150(n+1)$
$3^n-150n<3^n*3-150n-150$
$3^n-150n-3^n*3+150n+150<0$
$-2*3^n+150<0$
$-2*3^n<-150$
$3^n>-75$
che volendo può essere girato e diventare $75 < 3^n$ come l'avevi scritta tu
cmq viene così:
$3^n-150n<3^(n+1)-150(n+1)$
$3^n-150n<3^n*3-150n-150$
$3^n-150n-3^n*3+150n+150<0$
$-2*3^n+150<0$
$-2*3^n<-150$
$3^n>-75$
che volendo può essere girato e diventare $75 < 3^n$ come l'avevi scritta tu
In effetti mi sono sempre bloccato al 3° passaggio!
Non ho capito come si arriva a $-2 (3^n)$
Non ho capito come si arriva a $-2 (3^n)$
tu hai $3^n-3*3^n$ è come dire: $a-3a=-2a$ quindi nel tuo caso: $-2*3^n$
se poi vuoi puoi anche vederla così:
$3^n-3*3^n=3^n(1-3)=-2*3^n$
ci sono infiniti modi di scriverla ma alla fine è sempre la stessa cosa
se poi vuoi puoi anche vederla così:
$3^n-3*3^n=3^n(1-3)=-2*3^n$
ci sono infiniti modi di scriverla ma alla fine è sempre la stessa cosa
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