Somma di una serie

[ale9861]

Come si esegue la somma di una serie geometrica?

[Celine2]

Vedi se riesci a scrivere il termine generale della successione delle somme parziali, sfruttando poi i teoremi sui limiti arrivi in modo costruttivo alla famosa formula...

[carlo232]

"ale986":Come si esegue la somma di una serie geometrica?

è un classico, dato che ricitare la "famosa" formula sarebbe inutile poichè tanto in pochi usano il pulsante cerca del forum cercherò di andare sul generale.

Sia $k in NN$ , troviamo la formuletta per la somma infinita

$f_k(x)=1^k+2^kx^2+3^kx^3+4^kx^4+...$

con $|x|<1$. Abbiamo

$f'_k(x)=2^(k+1)x+3^(k+1)x^2+4^(k+1)x^3+...=(f_(k+1)(x))/(x)$

da cui la formula ricorsiva $f_(k+1)(x)=xf'_k(x)$. Del resto

$f_0(x)(1-x)=1+x+x^2+x^3+...-x-x^2-x^3-...=1$

$f_0(x)=1/(1-x)$

[ale9861]

Qual'è la "famosa formula"?
Purtroppo sul libro non ci capisco un granchè ed un intero esercizio d esame è dedicato a somme di serie e studio della convergenza... aiutatemi...

[carlo232]

"ale986":Qual'è la "famosa formula"?
Purtroppo sul libro non ci capisco un granchè ed un intero esercizio d esame è dedicato a somme di serie e studio della convergenza... aiutatemi...

Eccola se $|x|<1$ allora $1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x)$!

[ale9861]

Grazie!In questo caso x è la ragione della serie vero?
Questa formula vale solo per le serie geometriche?e per la somma di altri tipi di serie?
..un'altra domanda: per calcolare se una serie converge è sempre giusto(per qualunque tipo di serie)utilizzare il criterio del rapporto?O c'è qualche criterio o metodo più semplice per calcolarle..???
Grazie ancora...

[ELWOOD1]

il criterio del rapporto è uno dei criteri di convergenza delle serie, e ne esistono altri proprio per la diversità delle serie che si possono incontrare!In alcune serie come ad esempio questa:

$sum_(n=0)^(oo) (1+e^(-n))/(n^2+2n)$

è molto più semplice ed intuitivo fare un confronto asintotico

$sum_(n=0)^(oo) (1+e^(-n))/(n^2+2n) < sum_(n=0)^(oo) 1/(n^2)$

studiando la convergenza della serie maggiorata, della quale sai con esattezza che converge determini pure la convergenza della serie iniziale