Somma di una serie

[Woody1]

Salve a tutti! Qualcuno conosce una formula per il calcolo del valore esatto di $sum_{k=1}^{infty} 1/k^n$ per ogni $n in NN\\{0,1}$ ?

[Sk_Anonymous]

You know, $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} = \zeta(s)$, for any $s \in \mathbb{C}$ such that $\Re(s) > 1$.

[Woody1]

Yes, I know, but unfortunately I don't know any formula for the exact calculus of $zeta(s)$. Could you help me? Thanks!

[Sk_Anonymous]

...la domanda non ha senso. Sempliceemente $\zeta(3)$ vale $\zeta(3)$, esattamente come $\ln(2)$ vale $\ln(2)$. Che poi esistano dei casi fortunati in cui il valore assunto da una funzione - sia essa la zeta di Riemann come il logaritmo naturale - possa essere espresso in altro modo, beh... quest'è un fatto puramente accidentale. Càpita così ad esempio che $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, $\cos(2\pi) = 1$ e $e^{i\pi} = -1$. Altro non c'è...