Somma di una serie

[gugione]

Ciao a tutti,

sono alle prese con un esercizio che mi chiede di definire la somma della serie numerica $\sum_{k=0}^(\infty) a_k$ e calcolarla quando $a_k = 1 + (-1)^k$

Come bisogna proseguire? Ho letto su internet che spesso bisogna ricondursi a serie telescopiche o geometriche...ma non so se in questo caso sia possibile o meno!!
Spero in un aiutino o almeno un suggerimento

Grazie

[ostrogoto1]

Ho l'impressione che la serie diverga...

[Ziben]

Ciao.
Anche secondo me la serie diverge. Il termine $a_k$ vale $2$ se $k$ pari o $k=0$, e vale $0$ se $k$ dispari.

[ostrogoto1]

Considera la successione delle somme parziali:

$ s_0=2 $
$ s_1=2 $
$ s_2=4 $
$ s_3=4 $
$ s_4=6 $
$ s_5=6 $
...

allora posso definire la successione $ b_n=n

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[gugione]

Non capisco raga...se diverge non posso calcolare la somma?
Comunque il testo é corretto
Secondo me diverge se k é pari (serie a termini positivi con condizione necessaria di cauchy non soddisfatta) ma per k dispari la serie puo convergere o divergere (non ho capito come affermate la divergenza in questo caso).
E per concludere non ho capito se questo esercizio é fattibile o meno XD era in un tema d'esame assegnato dal mio prof

[ostrogoto1]

Dal libro di analisi:
Diciamo che la serie di termine generale $ a_k $ converge se la successione delle somme parziali k-esime $ {s_k}_(k>=0) $ e' convergente. In questo caso denotato con s il limite della successione $ {s_k} $, diciamo che s e' la somma della serie.
Diciamo che $ sum_(k=0)^(+oo)a_k $ e' divergente a $ +oo $ (rispettivamente a $ -oo $ ) se la successione delle somme parziali $ {s_k}_(k>=0) $ e' divergente a $ +oo $.

Per la serie in questione se si seguisse alla lettera la definizione sopra non si potrebbe definire la somma in quanto la serie diverge (la successione delle somme parziali ha limite $ +oo $ come dimostrato nel messaggio precedente) pero' penso che con un piccolo abuso di notazione si potrebbe affermare che la somma di una serie divergente a $ +oo $ sia $ +oo $. Riguarda i tuoi appunti e il tuo libro di testo circa la definizione di somma di una serie, magari e' meno restrittiva di quanto ho trovato nel mio testo e permette di definire la somma di una serie divergente dicendo che e' $ +oo $.
Non ha senso la tua affermazione:

Secondo me diverge se k é pari (serie a termini positivi con condizione necessaria di cauchy non soddisfatta) ma per k dispari la serie puo convergere o divergere

[gugione]

Ho riguardato i miei appunti e il libro...ho trovato la stessa definizione di Ostrogoto Ma non si afferma da nessuna parte che la somma sia + infinito
Quindi non so come continuare...ma mi sembra strano che un esercizio d'esame sia cosi ambiguo...
E comunque penso che in "matematichese" non abbia senso affermare che la somma sia un valore infinito

[Ziben]

Non so se ti può servire, cito direttamente dal testo "Analisi Matematica" di Giovanni Prodi:
"(dopo aver definito la serie fa un'osservazione) La terminologia che si è formata riguardo alle serie non è la più chiara e coerente che si potrebbe desiderare; d'altra parte, essa è così radicata nell'uso, che non è il caso di tentare di cambiarla. Così il numero (eventualmente uguale a $\pm\infty$) $s=\limS_n$ viene detto somma della serie anziché limite della serie o, più chiaramente, somma (dei termini) della successione. I simboli
$\Sigmaa_n$ oppure $a_0+a_1+...+a_n+...$
vengono poi usati indifferentemente sia per indicare la serie, cioè la successione delle somme parziali, sia la somma della serie."