Somma di una particolare serie...
Salve, siete d'accordo che $0^0 + 0^0 + 0^0 + \ldots = 1$? Come si può giustificare quest'affermazione?
Risposte
E' un caso particolare di qualche risultato che deve tornare? In questo caso penso che l'unica cosa che puoi fare è aggiungere la relativa convenzione. Anche se a me non piacerebbe farlo.
Puoi comunque dirci qual è il problema originario?
Puoi comunque dirci qual è il problema originario?
Certo...
Dunque, definisco per $A \subset \RR^n$, $0 \le s < \infty$, $0 < \delta \le \infty$
$\mathcal{H}_\delta^s (A) \equiv \text{inf}{ \sum_{j=1}^\infty \alpha(s) (\frac{\text{diam} C_j}{2})^s | A \subset \bigcup_{j=1}^\infty C_j,\, \text{diam} C_j \le \delta }$,
dove
$\alpha(s) \equiv \frac{\pi^{s/2}}{\Gamma(\frac{s}{2} + 1)}$.
Devo provare che $\mathcal{H}_\delta^0 ({a}) = 1$, per ogni $a \in \RR^n$.
Grazie mille per l'interessamento!
Dunque, definisco per $A \subset \RR^n$, $0 \le s < \infty$, $0 < \delta \le \infty$
$\mathcal{H}_\delta^s (A) \equiv \text{inf}{ \sum_{j=1}^\infty \alpha(s) (\frac{\text{diam} C_j}{2})^s | A \subset \bigcup_{j=1}^\infty C_j,\, \text{diam} C_j \le \delta }$,
dove
$\alpha(s) \equiv \frac{\pi^{s/2}}{\Gamma(\frac{s}{2} + 1)}$.
Devo provare che $\mathcal{H}_\delta^0 ({a}) = 1$, per ogni $a \in \RR^n$.
Grazie mille per l'interessamento!
Ok, capisco. Provo a dare la mia opinione.
Secondo me l'unica cosa da fare (se non vuoi dire che il risultato vale per convenzione) è concedere ai $C_j$ di essere un numero finito. In questo modo quando $A={a}$ l'inf viene realizzato proprio da $C=C_1={a}$ con la convenzione meno dolorosa $0^0=1$ (che si può giustificare per esempio dicendo che $0^0=|emptyset^{emptyset}|=1$).
Questo dovrebbe essere permesso dal fatto che il termine elevato alla $s$ non è il diametro ma il diametro dimezzato, cosicché può succedere che l'inf sia realizzato da una famiglia infinita di $C_j$ (almeno credo).
Secondo me l'unica cosa da fare (se non vuoi dire che il risultato vale per convenzione) è concedere ai $C_j$ di essere un numero finito. In questo modo quando $A={a}$ l'inf viene realizzato proprio da $C=C_1={a}$ con la convenzione meno dolorosa $0^0=1$ (che si può giustificare per esempio dicendo che $0^0=|emptyset^{emptyset}|=1$).
Questo dovrebbe essere permesso dal fatto che il termine elevato alla $s$ non è il diametro ma il diametro dimezzato, cosicché può succedere che l'inf sia realizzato da una famiglia infinita di $C_j$ (almeno credo).
"Chevtchenko":
Salve, siete d'accordo che $0^0 + 0^0 + 0^0 + \ldots = 1$? Come si può giustificare quest'affermazione?
non è detto che non possa essere (almeno come schema generico di qualcosa più profondo), ma francamente scritto così io sono dell'idea che non si possa accettare. sono d'accordo con quanto affermato da Martino, ma mi pare che sia in contraddizione con questa uguaglianza.
io leggo così, alla lettera, ma magari sbaglio: una somma (numerabile) di infiniti termini uguali fra loro è uguale ad 1.
la logica spicciola dice che se hai un infinito numerabile di termini identicamente nulli il risultato è zero, se hai una somma numerabile di infiniti termini diversi da zero, uguali fra loro, il risultato è infinito. potresti avere un numero finito solo se fossero infinitesimi, ma non mi pare che $0^0$, scritto così, possa essere considerato un infinitesimo, per il semplice fatto che usiamo un numero ben preciso, lo zero, ed un'operazione ben precisa, la potenza, per cui o $0^0$ non esiste oppure ha un valore ben preciso (anche se non occorre specificarlo): nel primo caso la somma non ha senso, nel secondo caso può essere solo zero o infinito.
fatemi capire se sbaglio. ciao.
Secondo me la cosa che dici è falsa... e già adaBTTLS l'aveva ribadito. Faccio la seguente considerazione: $0^0$ è una forma indeterminata, quindi dipende da quale funzione ti permette di arrivarci. Se consideri le funzioni $f_j(x)=(x^x)^j$, con $j$ naturale positivo, allora il limite per $x\rightarrow 0$ di tali funzioni è sempre 1 (prova a farlo.) Adesso, supponi di prendere $x
$\sum_{j=1}^{+\infty} f_j(x)=\sum_{j=1}^{+\infty} A^j=\frac{A}{1-A}$
che si ottiene considerando tutto come serie geometrica. A questo punto per $x=0$ avresti da una parte la somma degli $0^0$, dall'altra invece il limite per $A\rightarrow 1$ della sommatoria, che tende ad infinito!
(Lo so, ho scritto male e di fretta, ma il succo è quello!)
Per quanto riguarda il tuo esercizio, io proverei ad usare come insiemi i seguenti
$C_j=\{x\in RR\ :\ |x-a|<\frac{\delta}{2^j}\}$
cioè le palle di centro il punto $a$ e raggio $\delta/2^j$ (così il diametro è sicuramente minore o uguale a $\delta$).
$\sum_{j=1}^{+\infty} f_j(x)=\sum_{j=1}^{+\infty} A^j=\frac{A}{1-A}$
che si ottiene considerando tutto come serie geometrica. A questo punto per $x=0$ avresti da una parte la somma degli $0^0$, dall'altra invece il limite per $A\rightarrow 1$ della sommatoria, che tende ad infinito!
(Lo so, ho scritto male e di fretta, ma il succo è quello!)Per quanto riguarda il tuo esercizio, io proverei ad usare come insiemi i seguenti
$C_j=\{x\in RR\ :\ |x-a|<\frac{\delta}{2^j}\}$
cioè le palle di centro il punto $a$ e raggio $\delta/2^j$ (così il diametro è sicuramente minore o uguale a $\delta$).
Se ti conforta maggiormente, in un capitolo di un libro che ho in cui parla della misura di Hausdorff viene indicato proprio il risultato che dici tu. Lì c'è una nota a pedice dove testualmente si afferma che viene adottata la convenzione $0^0=1$. Sembra proprio che l'osservazione di Martino sia quella giusta (e si poteva dubitarne? 
)!
Ovviamente io non so risponderti se la tua osservazione è giusta o no.
Ciao.
)!Ovviamente io non so risponderti se la tua osservazione è giusta o no.
Ciao.
"amel":
Se ti conforta maggiormente, in un capitolo di un libro che ho in cui parla della misura di Hausdorff viene indicato proprio il risultato che dici tu.
Evans-Gariepy?
Niente di così esotico...
"amel":
Niente di così esotico...
No, è che quello è il mio riferimento principale (al momento) per questi fatti di misure.
È da un po' che non ti si vedeva da queste parti. Bentornato!
"Gugo82":
È da un po' che non ti si vedeva da queste parti. Bentornato!
Grazie! (Fine OT
)
"amel":
Se ti conforta maggiormente, in un capitolo di un libro che ho in cui parla della misura di Hausdorff viene indicato proprio il risultato che dici tu. Lì c'è una nota a pedice dove testualmente si afferma che viene adottata la convenzione $0^0=1$. Sembra proprio che l'osservazione di Martino sia quella giusta (e si poteva dubitarne?
Ovviamente io non so risponderti se la tua osservazione è giusta o no.
Ciao.
La mia domande è: stiamo parlando di "convenzioni" o stiamo parlando di dover determinare qualcosa? Perché se assumiamo la cosa per convenzione, allora sono anche io d'accordo con Martino! Il fatto è che mi pare non sia immediato poter assumere quello che viene chiesto all'inizio in maniera così immediata. Ok, $0^0=1$, ma la somma $\sum_{j=1}^{+\infty} 1=+\infty$ ! Come la mettiamo?
In effetti in quel testo a guardar meglio evita di fare la serie... vabbè sorry for the disturb. 
Che bello, tutti d'accordo con me
Sono d'accordo con voi che non si può ordinare a una somma infinita di uni di fare qualcosa di finito. Infatti è per questo che proponevo di lasciare ai $C_j$ la possibilità di essere un numero finito. Cioè invece di dire che $j=1,2,...,oo$ direi $j in J$ con $J$ che varia tra i sottoinsiemi di $NN$. A occhio mi pare che con questa definizione alternativa la convenzione $0^0=1$ sia sufficiente (perché come dicevo quando $s=0$ l'inf è realizzato dalla famiglia ${{a}}$).
Sono d'accordo con voi che non si può ordinare a una somma infinita di uni di fare qualcosa di finito. Infatti è per questo che proponevo di lasciare ai $C_j$ la possibilità di essere un numero finito. Cioè invece di dire che $j=1,2,...,oo$ direi $j in J$ con $J$ che varia tra i sottoinsiemi di $NN$. A occhio mi pare che con questa definizione alternativa la convenzione $0^0=1$ sia sufficiente (perché come dicevo quando $s=0$ l'inf è realizzato dalla famiglia ${{a}}$).
"amel":
In effetti in quel testo a guardar meglio evita di fare la serie... vabbè sorry for the disturb.
Ma no amel.... anzi, la tua questione è sensatissima!
Il problema è vedere di definire un oggetto in maniera precisa o darne una dimostrazione definitiva. Pensa a come si definisce che $0!=1$ o, rimanendo più vicini, al come si dimostra che $a^0=1$ per ogni numero reale. Diciamo che quando si tratta una faccenda del genere in un modo o nell'altro è un po' come affrontare il dilemma del V postulato di Euclide: è una cosa da assumere come "dogma" imprescindibile, o è una cosa che può essere dimostrata o confutata?
Cioè, se ho capito bene, tu ti chiedi se si può evitare la convenzione in questione? O ho capito male? (Poi vabbè dai lascio questo thread perchè mi sembra di vandalizzarlo... )
Diciamo che, visto lo stile dell'autore, mi deluderebbe se esistesse un modo di provare il risultato evitando quella convenzione...
)Diciamo che, visto lo stile dell'autore, mi deluderebbe se esistesse un modo di provare il risultato evitando quella convenzione...
"Chevtchenko":No, non sono d'accordo. Questa affermazione non può essere giustificata, almeno se non vuoi buttare via gran parte della matematica.
Salve, siete d'accordo che $0^0 + 0^0 + 0^0 + \ldots = 1$? Come si può giustificare quest'affermazione?
Convenzione? E di che? Cosa sono quegli $0^0$? Numeri? Vuoi adottare una particolare convenzione che riguada la somma di infiniti numeri uguali? Sarebbe una convenzione sommamente disdicevole.
Non solo...
Non ti servirà a nulla se il tuo scopo è questo (e mi riferisco alle parole che ho messo io in gassetto qui sotto, nella tua citazione):
"Chevtchenko":
Certo...
Dunque, definisco per $A \subset \RR^n$, $0 \le s < \infty$, $0 < \delta \le \infty$
$\mathcal{H}_\delta^s (A) \equiv \text{inf}{ \sum_{j=1}^\infty \alpha(s) (\frac{\text{diam} C_j}{2})^s | A \subset \bigcup_{j=1}^\infty C_j,\, \text{diam} C_j \le \delta }$,
dove
$\alpha(s) \equiv \frac{\pi^{s/2}}{\Gamma(\frac{s}{2} + 1)}$.
Devo provare che $\mathcal{H}_\delta^0 ({a}) = 1$, per ogni $a \in \RR^n$.
Grazie mille per l'interessamento!
Butto lì un paio di idee.
Se $a>0$ e $(b_n)$ è una successione positiva, la serie $\sum_n a*b_n^0$ non ha mai somma finita; in particolare se $"diam "C_n \in ]0,delta]$ per ogni $n$, si ha $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=+oo$ e però tali situazioni ci interessano poco, visto che vogliamo definire $\mathcal(H)_delta^0(\{ a\})$ prendendo un estremo inferiore (e ciò porterebbe subito a scartare gli eventuali $+oo$ presenti nella classe dei valori assunti da quelle serie).
Tendo a credere che chi usi quella definizione di $\mathcal(H)_delta^s(\{ a\})$ faccia implicita convenzione di considerare, per ogni valore di $s>=0$, $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^s$ come somma finita se la successione $("diam "C_n)$ è definitivamente nulla; anzi, più in generale, chi usa quella definizione conviene di "scartare" dalla somma $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^s$ tutti gli addendi provenienti da qualche $C_n$ a diametro nullo (cosa senz'altro lecita per $s>0$, ma che crea qualche complicazione formale per $s=0$).
Tuttavia, ciò ancora non basta nel caso $s=0$, poichè il "caso limite" $(C_n) " tale che " ("diam "C_n) " è nulla"$ dà ancora problemi; per giustificare i passaggi, almeno nel caso $s=0$ c'è da richiedere che, nel ricoprimento $(C_n)$, ci sia almeno un elemento $C_nu$ avente $"diam " C_nu>0$.
Seguendo tali convenzioni e prendendo $C_0=B(a;delta/2)$ e $C_n=\{ a\}$, si ottiene $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=omega_0*(delta/4)^0=omega_0$.
Che $omega_0$ sia l'estremo inferiore di quella classe si vede facilmente: infatti, se $(C_n)$ non ha $("diam "C_n) \in c_(00)$, allora $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=+oo$; d'altra parte se $(C_n)$ ha $("diam "C_n) \in c_(00)$, detto $N>=1$ il massimo numero di elementi non nulli di $("diam "C_n)$, si ha $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=omega_0*N$. Ne viene che:
$\quad \mathcal(H)_delta^0(\{ a\})="inf "\{ omega_0*N , N\in NN " e " N>=1\} =omega_0$.
Visto che $omega_0:=(pi^0)/(Gamma(1))=1$, si ottiene $\mathcal(H)_delta^0(\{ a\})=1$ e quindi $\mathcal(H)^0(\{ a\})=lim_(delta \to 0^+) \mathcal(H)_delta^0(\{ a\})=1$ come si voleva.
Ad ogni modo, mi sembra più facile prendere per definizione $\mathcal(H)^0$ coincidente con la misura che conta, piuttosto che armare tutto questo casino.
Se $a>0$ e $(b_n)$ è una successione positiva, la serie $\sum_n a*b_n^0$ non ha mai somma finita; in particolare se $"diam "C_n \in ]0,delta]$ per ogni $n$, si ha $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=+oo$ e però tali situazioni ci interessano poco, visto che vogliamo definire $\mathcal(H)_delta^0(\{ a\})$ prendendo un estremo inferiore (e ciò porterebbe subito a scartare gli eventuali $+oo$ presenti nella classe dei valori assunti da quelle serie).
Tendo a credere che chi usi quella definizione di $\mathcal(H)_delta^s(\{ a\})$ faccia implicita convenzione di considerare, per ogni valore di $s>=0$, $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^s$ come somma finita se la successione $("diam "C_n)$ è definitivamente nulla; anzi, più in generale, chi usa quella definizione conviene di "scartare" dalla somma $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^s$ tutti gli addendi provenienti da qualche $C_n$ a diametro nullo (cosa senz'altro lecita per $s>0$, ma che crea qualche complicazione formale per $s=0$).
Tuttavia, ciò ancora non basta nel caso $s=0$, poichè il "caso limite" $(C_n) " tale che " ("diam "C_n) " è nulla"$ dà ancora problemi; per giustificare i passaggi, almeno nel caso $s=0$ c'è da richiedere che, nel ricoprimento $(C_n)$, ci sia almeno un elemento $C_nu$ avente $"diam " C_nu>0$.
Seguendo tali convenzioni e prendendo $C_0=B(a;delta/2)$ e $C_n=\{ a\}$, si ottiene $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=omega_0*(delta/4)^0=omega_0$.
Che $omega_0$ sia l'estremo inferiore di quella classe si vede facilmente: infatti, se $(C_n)$ non ha $("diam "C_n) \in c_(00)$, allora $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=+oo$; d'altra parte se $(C_n)$ ha $("diam "C_n) \in c_(00)$, detto $N>=1$ il massimo numero di elementi non nulli di $("diam "C_n)$, si ha $\sum_(n=0)^(+oo) omega_0 (("diam "C_n)/2)^0=omega_0*N$. Ne viene che:
$\quad \mathcal(H)_delta^0(\{ a\})="inf "\{ omega_0*N , N\in NN " e " N>=1\} =omega_0$.
Visto che $omega_0:=(pi^0)/(Gamma(1))=1$, si ottiene $\mathcal(H)_delta^0(\{ a\})=1$ e quindi $\mathcal(H)^0(\{ a\})=lim_(delta \to 0^+) \mathcal(H)_delta^0(\{ a\})=1$ come si voleva.
Ad ogni modo, mi sembra più facile prendere per definizione $\mathcal(H)^0$ coincidente con la misura che conta, piuttosto che armare tutto questo casino.
Grazie a tutti per le risposte!
@FP
E' giusto, ma non avevo parlato io di convenzioni...
@amel
Potrei avere il riferimento di quel testo?
@Gugo82
Sì, è proprio Evans-Gariepy, ovviamente... Comunque credo che farò come dici, definendo $\mathcal{H}^0$ come la misura che conta... anche perché richiedere espressamente che nel ricoprimento ci sia almeno un elemento avente diametro positivo mi sembra poco consono allo spirito di quella definizione.
@FP
E' giusto, ma non avevo parlato io di convenzioni...
@amel
Potrei avere il riferimento di quel testo?
@Gugo82
Sì, è proprio Evans-Gariepy, ovviamente...
Comunque credo che farò come dici, definendo $\mathcal{H}^0$ come la misura che conta... anche perché richiedere espressamente che nel ricoprimento ci sia almeno un elemento avente diametro positivo mi sembra poco consono allo spirito di quella definizione.
"Chevtchenko":
Potrei avere il riferimento di quel testo?
Mi sa che è un po' troppo semplice per quello a cui sei abituato...
comunque:Lanconelli, Lezioni di analisi matematica 2 - Seconda parte
"amel":
[quote="Chevtchenko"]Potrei avere il riferimento di quel testo?
Mi sa che è un po' troppo semplice per quello a cui sei abituato...
comunque:Lanconelli, Lezioni di analisi matematica 2 - Seconda parte[/quote]
Grazie mille!
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