Somma di successioni
Sto leggendo una dispensa di Analisi 1, in cui ad un certo punto si dice che per due successioni ${an}$ limitata e ${bn}$ divergente, ${an + bn}$ diverge.
Poi porta l'esempio ${n+(−1)^n*\frac{2^n}{n+1}*sen(n)}$, dicendo che questa successione diverge.
Vorrei cercare di capire: $n$ è divergente e ok... ma $(-1)^n$ è oscillante, $\frac{2^n}{n+1}$ è divergente e $sen(n)$ è limitata, ma non riesco a capire come stabilire se sia convergente o divergente... Come si fa a dire che una successione oscillante per una divergente per una limitata è uguale ad una limitata?
Lumi?
Grazie.
Poi porta l'esempio ${n+(−1)^n*\frac{2^n}{n+1}*sen(n)}$, dicendo che questa successione diverge.
Vorrei cercare di capire: $n$ è divergente e ok... ma $(-1)^n$ è oscillante, $\frac{2^n}{n+1}$ è divergente e $sen(n)$ è limitata, ma non riesco a capire come stabilire se sia convergente o divergente... Come si fa a dire che una successione oscillante per una divergente per una limitata è uguale ad una limitata?
Lumi?
Grazie.
Risposte
Di certo:
$alpha_n=(-1)^n2^n/(n+1)sen(n)$
Non è limitata, visto che:
$text{liminf}_n 2^n/(n+1)sen(n)=-oo$
$text{limsup}_n 2^n/(n+1)sen(n)=+oo$
O meglio, se osservi potresti scegliere dei valori di $n=n_0$ tali che $alpha_(n_0)>M$ per qualunque scelta di $M$ ed analogamente valori di $n=n_1$ tali che $alpha_(n_1)>M$ per qualunque scelta di $-M$.
$alpha_n=(-1)^n2^n/(n+1)sen(n)$
Non è limitata, visto che:
$text{liminf}_n 2^n/(n+1)sen(n)=-oo$
$text{limsup}_n 2^n/(n+1)sen(n)=+oo$
O meglio, se osservi potresti scegliere dei valori di $n=n_0$ tali che $alpha_(n_0)>M$ per qualunque scelta di $M$ ed analogamente valori di $n=n_1$ tali che $alpha_(n_1)>M$ per qualunque scelta di $-M$.
Riguardo al fatto che non sia limitata:
il limite inferiore di $\frac{2^n}{n+1}sen(n)$ è $-\infty$ perché il limite inferiore di $sen(n)$ è $-1$ e quindi $+\infty*-1 = -\infty$?
La tua ultima osservazione non l'ho capita...
...perdonami, ma ho iniziato a studiare le successioni da pochissimo e non ci sto capendo un granché!!
EDIT:
Che poi non riesco neanche a dare un senso a $sen(n)$ visto che $n in NN$...
il limite inferiore di $\frac{2^n}{n+1}sen(n)$ è $-\infty$ perché il limite inferiore di $sen(n)$ è $-1$ e quindi $+\infty*-1 = -\infty$?
La tua ultima osservazione non l'ho capita...
...perdonami, ma ho iniziato a studiare le successioni da pochissimo e non ci sto capendo un granché!!
EDIT:
Che poi non riesco neanche a dare un senso a $sen(n)$ visto che $n in NN$...
"Lord K":
Di certo:
O meglio, se osservi potresti scegliere dei valori di $n=n_0$ tali che $alpha_(n_0)>M$ per qualunque scelta di $M$ ed analogamente valori di $n=n_1$ tali che $alpha_(n_1)>M$ per qualunque scelta di $-M$.
Forse volevi scrivere:
$alpha_(n_1)
"DavideV":
Riguardo al fatto che non sia limitata:
Che poi non riesco neanche a dare un senso a $sen(n)$ visto che $n in NN$...
al resto che senso dai ?
"krek":
[quote="Lord K"]Di certo:
O meglio, se osservi potresti scegliere dei valori di $n=n_0$ tali che $alpha_(n_0)>M$ per qualunque scelta di $M$ ed analogamente valori di $n=n_1$ tali che $alpha_(n_1)>M$ per qualunque scelta di $-M$.
Forse volevi scrivere:
$alpha_(n_1)
Esattamente, ma mi sono incartato con gli $M$
Aspetta.. forse ho capito la questione relativa a $sen(n)$..
Un angolo $n$ (per esempio $\frac{\pi}{4}$) non è altro che l'espressione di un rapporto tra due numeri (la lunghezza dell'arco di circonferenza con il raggio) e può essere visto a sua volta come un numero reale (0,785...). A questo punto un qualsiasi numero corrisponde ad un angolo $\frac{x\pi}{y}$. Giusto?
Un angolo $n$ (per esempio $\frac{\pi}{4}$) non è altro che l'espressione di un rapporto tra due numeri (la lunghezza dell'arco di circonferenza con il raggio) e può essere visto a sua volta come un numero reale (0,785...). A questo punto un qualsiasi numero corrisponde ad un angolo $\frac{x\pi}{y}$. Giusto?
Sì. L'angolo espresso in radianti è un numero reale per costruzione.
Naturalmnete $sen(n) $ con $n in NN $ va inteso che l'argomento è in radianti NON in gradi !
Mi intrometto "al volo" giusto per una risposta a DavideV: non solo è giusto pensare alle funzioni trigonometriche in questa maniera, cioè slegate dall'interpretazione geometrica, ma è anche così che si fa in geometria euclidea per definire il concetto di angolo. In sostanza facciamo così: definiamo le funzioni $sin$, $cos$ come funzioni $RR\toRR$ e poi usando questo concetto diciamo che l'angolo tra due semirette è l'arcocoseno di bla bla bla. Cioè il concetto di "funzione trigonometrica" è più a monte di quello di "angolo". Non so se sono chiaro, se no puoi tranquillamente ignorare tutto questo! Comunque quello che dici è corretto.
[edit] ops...mentre scrivevo è arrivata una raffica di altre risposte! spero di non aver fatto confusione.
[edit] ops...mentre scrivevo è arrivata una raffica di altre risposte! spero di non aver fatto confusione.
No tranquillo, non hai fatto confusione 
Grazie a tutti!
...torniamo a "bomba": rimane ancora aperta la questione della successione: non ho ancora capito perché TUTTA la successione debba divergere, ma soprattutto non ho capito come interpretare quella dopo il segno "+"!!
Grazie a tutti!
...torniamo a "bomba": rimane ancora aperta la questione della successione: non ho ancora capito perché TUTTA la successione debba divergere, ma soprattutto non ho capito come interpretare quella dopo il segno "+"!!
No tranquillo, non hai fatto confusione
Grazie a tutti!
...torniamo a "bomba": rimane ancora aperta la questione della successione: non ho ancora capito perché TUTTA la successione debba divergere, ma soprattutto non ho capito come interpretare quella dopo il segno "+"!!
Grazie a tutti!
...torniamo a "bomba": rimane ancora aperta la questione della successione: non ho ancora capito perché TUTTA la successione debba divergere, ma soprattutto non ho capito come interpretare quella dopo il segno "+"!!
Prova a dire la mia:
Secondo me la successione $a_n=n+(−1)^n*\frac{2^n}{n+1}*sen(n)$ non può essere divergente, ma oscillante perché
ponendo $b_n=n$ e $c_n=(−1)^n*\frac{2^n}{n+1}*sen(n)$ abbiamo che $b_n$ diverge mentre $c_n$ oscilla, ma non
limitatamente (un po' come $(-1)^n*n$) e dunque il la somma risulta anch'essa oscillante illimitatamente. Non voglio pretendere
di saperne più di una dispensa e probabilmente il mio suggerimento sarà sbagliato, ma sicuramente la successione da te proposta
non può divergere perché come è già stato provato la sua classe limite ha almeno 2 elementi e ne dovrebbe avere 1 solo.
Secondo me la successione $a_n=n+(−1)^n*\frac{2^n}{n+1}*sen(n)$ non può essere divergente, ma oscillante perché
ponendo $b_n=n$ e $c_n=(−1)^n*\frac{2^n}{n+1}*sen(n)$ abbiamo che $b_n$ diverge mentre $c_n$ oscilla, ma non
limitatamente (un po' come $(-1)^n*n$) e dunque il la somma risulta anch'essa oscillante illimitatamente. Non voglio pretendere
di saperne più di una dispensa e probabilmente il mio suggerimento sarà sbagliato, ma sicuramente la successione da te proposta
non può divergere perché come è già stato provato la sua classe limite ha almeno 2 elementi e ne dovrebbe avere 1 solo.
O hai copiato male o è sbagliata la dispensa.
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