Somma di serie numeriche

[kotek]

Buona serata a tutti,
non riesco proprio a trovare un modo per calcolare la somma della seguente serie numerica:

$sum_(n=0)^(+oo)1/(2^(2n+1)(2n+1))$

qualcuno ha qualche suggerimento?

[Rigel1]

Puoi per esempio iniziare a calcolare, dove converge, la somma della serie \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}. \)

[kotek]

In questo esempio che mi hai detto tu, posso fare in questo modo:

$1/xsum_(n=0)^(+oo)x^(2n)/(2n+1)$

pongo $x^2=y$

$1/|sqrt(y)|sum_(n=0)^(+oo)y^n/(2n+1)$

quindi calcolando il raggio di convergenza, converge per $r=1$.
Si può fare in questo modo? Perché c'è quel $1/|sqrt(y)|$ che non mi convince tanto....

[Rigel1]

Io proverei a tenere la serie così come te l'ho indicata, calcolandone la serie derivata.

[kotek]

Allora derivando ottengo:

$sum_(n=0)^(+oo)x^(2n)$

che ha sempre raggio di convergenza $r=1$...

come mi può aiutare questo?

[Rigel1]

Ma ha anche una somma nota.

[kotek]

é vero certo certo, e poi integrando risolvo il problema, grazie mille!!