Somma di serie di funzioni
Devo trovare la somma di una serie di funzioni e volevo sapere se esiste un metodo generale per calcolarla. La serie è la seguente : 
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Risposte
Non la vedo... 
La serie è
$\sum_(n=1)^(+\infty) (-1)^n \frac{2^n+n^3}{(4x)^n} e^x$
te la scrivo perché sei iscritta da poco, ma per un futuro evita le immagini. I motivi sono tanti, i più comuni sono il fatto che i siti host delle immagini possono dall'oggi al domani cancellartela - addio testo quindi! - e inoltre che qui ne fa vedere un pezzo e ci vuole a scaricarla come ho fatto io.
Si tratta di capire, non è un rimprovero, altrimenti avrei citato il regolamento... e inoltre il mio nome utente non è verde.
[size=60]Come ho detto in un altro post, ho la febbre alta quindi è meglio che evito di rispondere perché magari sparo un delirio insensato.
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$\sum_(n=1)^(+\infty) (-1)^n \frac{2^n+n^3}{(4x)^n} e^x$
te la scrivo perché sei iscritta da poco, ma per un futuro evita le immagini. I motivi sono tanti, i più comuni sono il fatto che i siti host delle immagini possono dall'oggi al domani cancellartela - addio testo quindi! - e inoltre che qui ne fa vedere un pezzo e ci vuole a scaricarla come ho fatto io.
Si tratta di capire, non è un rimprovero, altrimenti avrei citato il regolamento... e inoltre il mio nome utente non è verde.
[size=60]Come ho detto in un altro post, ho la febbre alta quindi è meglio che evito di rispondere perché magari sparo un delirio insensato.
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Teorema. Sia $f_n(x)$ una successione decrescente di funzioni ($0 \leq f_{n+1} \leq f_n$, $\forall n \in NN$) e convergente uniformemente a 0 in $[a,b]$ ($\lim_{n \rightarrow +\infty} Sup_{x \in [a,b]} |f_n(x)|=0$), allora la serie:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n f_n(x)$$
converge uniformemente in $[a,b]$.
$$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n f_n(x)$$
converge uniformemente in $[a,b]$.
Per quanto riguarda la somma esatta il conto è un po' laborioso ma si può fare.
Riscrivo la serie così:
$
\sum_{n=1}^{\infty}(e^x(-1)^n\frac{2^n+n^3}{(4x)^n}) = e^x ( \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac(-1}{2x})^n +\sum_{n=1}^{\infty} n^3 \( \frac{-1}{4x})^n )
$
Mi occupo separatemente della prima e della seconda serie; banalmente la prima è una serie geometrica:
$
\sum_{n=1}^{\infty} ( \frac(-1}{2x})^n = \frac{2x}{2x+1}-1
$
nella quale ho sottratto uno perché la serie non parte da 0.
Per quanto riguarda la seconda il discorso è calcoloso;
D'ora e in avanti suppongo $ \abs(t)<1 $; si consideri:
$
(\sum_{n=0}^{\infty} t^n)' = (\frac{1}{1-t})' = \frac{1}{(1-t)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} nt^{n-1} = \frac{1}{t}\sum_{n=0}^{\infty}nt^n
$
Ma allora:
$
\sum_{n=0}^{\infty}nt^n = \frac{t}{(1-t)^2}
$
Risultato ottenuto derivando una serie che converge ad un valore noto e con qualche aggiustamento algebrico. Iterando il ragionamento per due volte al fine di avere $n^3$ nella serie si ha:
$
\sum_{n=1}^{\infty}n^3t^n = \sum_{n=0}^{\infty}n^3t^n = \frac{t(t^2+4t+1)}{(1-t)^4}
$
Adesso considerando $ t= \frac{-1}{4x}$ si ha che:
$
\sum_{n=1}^{\infty} n^3 \( \frac{-1}{4x})^n = \frac{-64x^3+64x^2-4x}{(4x+1)^4}
$
In tutto:
$
\sum_{n=1}^{\infty}(e^x(-1)^n\frac{2^n+n^3}{(4x)^n}) = e^x(\frac{-1}{2x+1}+\frac{-64x^3+64x^2-4x}{(4x+1)^4})
$
Ciao.
Riscrivo la serie così:
$
\sum_{n=1}^{\infty}(e^x(-1)^n\frac{2^n+n^3}{(4x)^n}) = e^x ( \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac(-1}{2x})^n +\sum_{n=1}^{\infty} n^3 \( \frac{-1}{4x})^n )
$
Mi occupo separatemente della prima e della seconda serie; banalmente la prima è una serie geometrica:
$
\sum_{n=1}^{\infty} ( \frac(-1}{2x})^n = \frac{2x}{2x+1}-1
$
nella quale ho sottratto uno perché la serie non parte da 0.
Per quanto riguarda la seconda il discorso è calcoloso;
D'ora e in avanti suppongo $ \abs(t)<1 $; si consideri:
$
(\sum_{n=0}^{\infty} t^n)' = (\frac{1}{1-t})' = \frac{1}{(1-t)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} nt^{n-1} = \frac{1}{t}\sum_{n=0}^{\infty}nt^n
$
Ma allora:
$
\sum_{n=0}^{\infty}nt^n = \frac{t}{(1-t)^2}
$
Risultato ottenuto derivando una serie che converge ad un valore noto e con qualche aggiustamento algebrico. Iterando il ragionamento per due volte al fine di avere $n^3$ nella serie si ha:
$
\sum_{n=1}^{\infty}n^3t^n = \sum_{n=0}^{\infty}n^3t^n = \frac{t(t^2+4t+1)}{(1-t)^4}
$
Adesso considerando $ t= \frac{-1}{4x}$ si ha che:
$
\sum_{n=1}^{\infty} n^3 \( \frac{-1}{4x})^n = \frac{-64x^3+64x^2-4x}{(4x+1)^4}
$
In tutto:
$
\sum_{n=1}^{\infty}(e^x(-1)^n\frac{2^n+n^3}{(4x)^n}) = e^x(\frac{-1}{2x+1}+\frac{-64x^3+64x^2-4x}{(4x+1)^4})
$
Ciao.
Sono talmente abituato ad associare serie a richieste di convergenza che non ho letto che doveva calcolarla 
Ti capisco 
. Tra l'altro poi secondo me l'esercizio manco chiedeva la somma mi pare di aver capito dall'immagine. Ma somma ci fu scritto e io eseguo!
. Tra l'altro poi secondo me l'esercizio manco chiedeva la somma mi pare di aver capito dall'immagine. Ma somma ci fu scritto e io eseguo!
Ciao ringrazio tutti per la risposta ,siete stati davvero gentili. L'esercizio infatti non chiedeva la somma però dato che il mio prof la chiede sempre all'esame mi stavo esercitando sulla somma delle serie e ho incontrato difficoltà in questo . Mi spiace di aver postato l'immagine ,la prossima volta la scriverò . Purtroppo sono ancora molto inesperta . Grazie ancora
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