Somma di serie
Salve sto studiando le serie ed ho un dubbio:
Come calcolo la somma di una serie?
Mi sembra di aver capito leggendo in giro che non sempre si riesce a calcolare la somma di una serie, ho capito bene?
Se invece esistono alcuni particolari casi generali in cui si può conoscere la somma parziale me li potreste proporre?
Grazie anticipatamente.
Come calcolo la somma di una serie?
Mi sembra di aver capito leggendo in giro che non sempre si riesce a calcolare la somma di una serie, ho capito bene?
Se invece esistono alcuni particolari casi generali in cui si può conoscere la somma parziale me li potreste proporre?
Grazie anticipatamente.
Risposte
In generale è molto difficile calcolare la somma di una serie. Sono pochi i casi in cui si può fare con le mani, vedi per esempio Serie di Mengoli, serie geometrica ecc...
Quello che molto spesso si può fare è studiare il carattere di una serie, cioè dire se converge, diverge o non ammette limite. In questo senso ci sono i criteri di convergenza. Ma per lo studio della somma è difficile
Quello che molto spesso si può fare è studiare il carattere di una serie, cioè dire se converge, diverge o non ammette limite. In questo senso ci sono i criteri di convergenza. Ma per lo studio della somma è difficile
perfetto, grazie per aver confermato le mie supposizioni.
Potete chiudere, se è vostra pratica usuale...
Potete chiudere, se è vostra pratica usuale...
Ma per somma di una serie si intende il valore del limite al quale la serie converge?
no, si intende la sommatoria dei valori delle somme parziali.
altrimenti il problema non si porrebbe
altrimenti il problema non si porrebbe
Ne sei sicuro al 100%? Se fosse come dici tu allora teoricamente la somma della serie si potrebbe sempre calcolare (basta un pò di pazienza)!
sì certo, basta sommare infiniti termini tra loro con la calcolatrice, e che ci vuole? (IRONIA)
Se non esistono formule per approssimare con piccolo errore le somme parziali ci si impiegherebbe un tempo infinito..
Pazienza fattoriale
Se non esistono formule per approssimare con piccolo errore le somme parziali ci si impiegherebbe un tempo infinito..
Pazienza fattoriale
Non ho capito. Prendiamo ad esempio la serie $sum_(i=1)^oo 1/n^2$. Io sto dicendo: la somma della serie è il limite al quale tende la sommatoria infinita (il limite esiste perchè sappiamo che questa serie converge)?
per somma si intende
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/ 25 + .... fino a 0
sommi tutto e ottieni la somma.
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/ 25 + .... fino a 0
sommi tutto e ottieni la somma.
La somma della serie è il limite al quale si verifica la convergenza. In alcuni casi ti accontenti solo di sapere se tale limite esista, sia infinito o non esista, in altri casi (quando esiste ed è finito) ti poni il problema di determinarne proprio il valore. Giusto?
@Mrs92
Attento...questa è l'idea intuitiva, non la definizione.
@lisdap
Questa non l'ho capita. Ma l'hai guardato il link?
Ovviamente. Nel primo caso stai studiando il carattere della serie. Nel secondo stai cercando il valore della serie (cioè il limite delle somme pariziali). Sono due problemi diversi.
"Mrs92":
per somma si intende
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/ 25 + .... fino a 0
sommi tutto e ottieni la somma.
Attento...questa è l'idea intuitiva, non la definizione.
@lisdap
"lisdap":
La somma della serie è il limite al quale si verifica la convergenza.
Questa non l'ho capita. Ma l'hai guardato il link?
"lisdap":
In alcuni casi ti accontenti solo di sapere se tale limite esista, sia infinito o non esista, in altri casi (quando esiste ed è finito) ti poni il problema di determinarne proprio il valore. Giusto?
Ovviamente. Nel primo caso stai studiando il carattere della serie. Nel secondo stai cercando il valore della serie (cioè il limite delle somme pariziali). Sono due problemi diversi.
Attento...questa è l'idea intuitiva, non la definizione.
sisi certo, stavo solo cercando di semplificare il più possibile il concetto.
"alle.fabbri":
Ovviamente. Nel primo caso stai studiando il carattere della serie. Nel secondo stai cercando il valore della serie (cioè il limite delle somme pariziali). Sono due problemi diversi.
E quello che tu hai chiamato "valore della serie" non è la somma della serie?
"lisdap":
E quello che tu hai chiamato "valore della serie" non è la somma della serie?
Si si.
Ok, perfetto, ci siamo capiti allora 
OT/
E' giusto dire che serie del tipo $sum_(i=1)^oo a(n)$ sono un caso particolare (gli addendi della somma infinita sono funzioni costanti) di serie di funzioni?
OT/
E' giusto dire che serie del tipo $sum_(i=1)^oo a(n)$ sono un caso particolare (gli addendi della somma infinita sono funzioni costanti) di serie di funzioni?
Mi rivolgo a Mrs92
ti dico che la somma di questa serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(1)/(n^2)$ è $(\pi^2)/(6)$
anzi posso comodamente scrivere
\[\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \]
la sua dimostrazione si vedrà nei corsi di analisi più avanti, forse in Analisi 3, così ha detto il mio professore di analisi matematica 1
Quella che dici tu.. per vedere se la serie converge o no, devi fare il limite delle sue somme parziali!
cioè in pratica stai facendo questo $\lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{n=1}^{n} (1)/(n^2)$
ti dico che la somma di questa serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(1)/(n^2)$ è $(\pi^2)/(6)$
anzi posso comodamente scrivere
\[\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \]
la sua dimostrazione si vedrà nei corsi di analisi più avanti, forse in Analisi 3, così ha detto il mio professore di analisi matematica 1
Quella che dici tu.. per vedere se la serie converge o no, devi fare il limite delle sue somme parziali!
cioè in pratica stai facendo questo $\lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{n=1}^{n} (1)/(n^2)$
@alle.fabbri:
Permettimi di citare una definizione da una fonte un po' più attendibile di WIKI...
"alle.fabbri":
Forse un'occhiata alla definizione di serie chiarirà l'annoso dilemma.
Permettimi di citare una definizione da una fonte un po' più attendibile di WIKI...
@gugo
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