Somma di serie
Ciao a tutti, ho questa serie:
$ sum_(n = 1)^(+oo) ((4^n)/(2n-1)) (x-1)^(2n) $
di cui ho calcolato il raggio di convergenza col criterio dela radice (dovrebbe essere $ R = +oo $) e ora dovrei calcolarne la somma, ma non riesco a ricondurla a nessuna funzione nota. mi sapete aiutare?
$ sum_(n = 1)^(+oo) ((4^n)/(2n-1)) (x-1)^(2n) $
di cui ho calcolato il raggio di convergenza col criterio dela radice (dovrebbe essere $ R = +oo $) e ora dovrei calcolarne la somma, ma non riesco a ricondurla a nessuna funzione nota. mi sapete aiutare?
Risposte
Mi sembra un po' strano, visto che con $x=0$ si ottiene la serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big(\frac{4^n}{2n-1}\Big)[/tex]
che non è convergente.
Paola
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \Big(\frac{4^n}{2n-1}\Big)[/tex]
che non è convergente.
Paola
vero, errore mio. il limite col criterio del rapporto è uguale a $ 4(x-1)^2 $ quindi l'insieme di convergenza si ottiene risolvendo $ 4(x-1)^2 < 1$ con risultato $ 1/2 < x < 3/2 $. il raggio di convergenza quindi è $ 1/2 $. Detto questo il problema della somma resta aperto. Come si trova?
Il raggio di convergenza è certamente sbagliato: infatti, a occhio si vede che la serie assegnata è "parente" della serie logaritmica, quindi non può convergere dappertutto.
Inoltre, per trovare la somma, basta cominciare a fare qualche conticino: ad esempio:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4^n}{2n-1}\ (x-1)^{2n} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}\ [2(x-1)]^{2n} $[/tex]
[tex]$=2(x-1) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}\ [2(x-1)]^{2n-1}$[/tex]
[tex]$=2(x-1) \left\{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}\ [2(x-1)]^{2n-1} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n}\ [2(x-1)]^{2n}\right\} -2(x-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n}\ [2(x-1)]^{2n}$[/tex]
[tex]$=2(x-1) \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m}\ [2(x-1)]^m -(x-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ [4(x-1)^2]^n$[/tex]
etc...
Inoltre, per trovare la somma, basta cominciare a fare qualche conticino: ad esempio:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4^n}{2n-1}\ (x-1)^{2n} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}\ [2(x-1)]^{2n} $[/tex]
[tex]$=2(x-1) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}\ [2(x-1)]^{2n-1}$[/tex]
[tex]$=2(x-1) \left\{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}\ [2(x-1)]^{2n-1} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n}\ [2(x-1)]^{2n}\right\} -2(x-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n}\ [2(x-1)]^{2n}$[/tex]
[tex]$=2(x-1) \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m}\ [2(x-1)]^m -(x-1)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ [4(x-1)^2]^n$[/tex]
etc...
perdonami ma la tua scomposizione è qualcosa di magico... e misterioso! mi sfugge completamente la sostituzione che ha fatto mettendo la lettera m. Immagino che sia una stupidaggine, ma non ho mai visto una cosa simile e non saprei come ricavarmela.
Semplicemente ho accorpato le due somme tra parentesi in un'unica somma: infatti è immediato notare che la prima dipende solo da indici dispari (del tipo $m=2n-1$) mentre la seconda solo da indici pari (quindi $m=2n$).
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