Somma di serie
Potete aiutarmi a calcolare la somma di questa serie di potenze? $\sum_{n=1}^infty (n+3)x^n/(n^2+n) $
Risposte
Ciao guidocastiello00,
Comincerei con l'osservare che la serie proposta converge a $ 0 $ per $x = 0 $, mentre applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta si vede che converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per $|x| < 1 $; poi diverge per $x = 1 $ (comportamento analogo a quello della serie armonica) mentre converge semplicemente per $x = - 1 $ per il criterio di Leibnitz.
Tutto quanto sopra premesso, si può considerare $x \ne 0 $ e spezzare la serie:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n+3)x^n/(n^2+n) = \sum_{n=1}^{+\infty} x^n/(n+1) + 3 \sum_{n=1}^{+\infty} x^n/(n(n+1)) = 1/x \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n + 1}/(n+1) + 3/x \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n + 1}/(n(n+1)) = $
$ = \frac{- x - ln(1 - x)}{x} + 3/x \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n \int_0^x t^n \text{d}t = \frac{- x - ln(1 - x)}{x} + 3/x \int_0^x (\sum_{n=1}^{+\infty} t^n/n) \text{d}t $
A questo punto dovresti riuscire a concludere che la somma della serie proposta è $ \frac{2x + 2 ln(1 - x) - 3x ln(1 - x)}{x} $
Comincerei con l'osservare che la serie proposta converge a $ 0 $ per $x = 0 $, mentre applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta si vede che converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per $|x| < 1 $; poi diverge per $x = 1 $ (comportamento analogo a quello della serie armonica) mentre converge semplicemente per $x = - 1 $ per il criterio di Leibnitz.
Tutto quanto sopra premesso, si può considerare $x \ne 0 $ e spezzare la serie:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n+3)x^n/(n^2+n) = \sum_{n=1}^{+\infty} x^n/(n+1) + 3 \sum_{n=1}^{+\infty} x^n/(n(n+1)) = 1/x \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n + 1}/(n+1) + 3/x \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n + 1}/(n(n+1)) = $
$ = \frac{- x - ln(1 - x)}{x} + 3/x \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n \int_0^x t^n \text{d}t = \frac{- x - ln(1 - x)}{x} + 3/x \int_0^x (\sum_{n=1}^{+\infty} t^n/n) \text{d}t $
A questo punto dovresti riuscire a concludere che la somma della serie proposta è $ \frac{2x + 2 ln(1 - x) - 3x ln(1 - x)}{x} $
Grazie mille per la risposta,ma non mi è ben chiaro il passaggio dalla 3 alla 4 uguaglianza,mica potresti illustrarla in dettaglio?
Certamente.
Come dovresti sapere per $- 1 < x <= 1 $ si ha:
$ln(1 + x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} x^n/n $
Scrivendo $- x $ al posto di $x $ per $- 1 <= x < 1 $ si ha:
$ln(1 - x) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n = - ln(1 - x) \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} x^{n + 1}/(n + 1) = - x - ln(1 - x) $
Come dovresti sapere per $- 1 < x <= 1 $ si ha:
$ln(1 + x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} x^n/n $
Scrivendo $- x $ al posto di $x $ per $- 1 <= x < 1 $ si ha:
$ln(1 - x) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/n = - ln(1 - x) \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} x^{n + 1}/(n + 1) = - x - ln(1 - x) $
Grazie mille,sono riuscito ad arrivare alla soluzione!
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