Somma di questa serie
$\sum_{n=1}^{oo}sin(\frac{1}{2^{n}})$
qualcuno sa darmi un suggerimento per calcolare la somma di questa serie?
qualcuno sa darmi un suggerimento per calcolare la somma di questa serie?
Risposte
Ragiona sulle proprietà del termine generale di questa serie!
l'unica cosa che vedo è che ogni termine ha l'argomento del seno che è il doppio del successivo
La somma non credo proprio sia esprimibile elementarmente; per la convergenza, basta maggiorare opportunamente.
si si che converge è semplice ma la somma m'interessava.
La somma è più o meno [tex]$0.976458$[/tex], pochissimo in meno di [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} =1[/tex]; però dubito fortissimamente che tale somma o le somme parziali della serie abbiano espressione elementare.
P.S.: Ovviamente, tenendo presente che [tex]$x-\sin x\leq \tfrac{1}{6} x^3$[/tex] si ha:
[tex]$1-\sum_{n=1}^{+\infty} \sin \tfrac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} -\sum_{n=1}^{+\infty} \sin \tfrac{1}{2^n} \leq \tfrac{1}{6}\sum_{n=1}^{+\infty} \tfrac{1}{2^{3n}} =\tfrac{1}{42}\approx 0.0238095$[/tex],
quindi la somma della tua serie si può approssimare dal basso con [tex]$1-0.0238095\approx 0.97619$[/tex].
P.S.: Ovviamente, tenendo presente che [tex]$x-\sin x\leq \tfrac{1}{6} x^3$[/tex] si ha:
[tex]$1-\sum_{n=1}^{+\infty} \sin \tfrac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} -\sum_{n=1}^{+\infty} \sin \tfrac{1}{2^n} \leq \tfrac{1}{6}\sum_{n=1}^{+\infty} \tfrac{1}{2^{3n}} =\tfrac{1}{42}\approx 0.0238095$[/tex],
quindi la somma della tua serie si può approssimare dal basso con [tex]$1-0.0238095\approx 0.97619$[/tex].
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