Somma di quadrati maggiore della somma di prodotti misti
Avrei un dubbio probabilmente stupido. Mi sono imbattuto nella disuguaglianza
\(\displaystyle (a_1+...+a_n)^2\leq n\left( (a_1)^2+...+(a_n)^2 \right) \),
valida \(\displaystyle \forall a_1,...,a_n\in\mathbb{R} \) e \(\displaystyle \forall n\in\mathbb{N} \). Sto cercando di dimostrarla nel caso particolare \(\displaystyle n=3 \), che è quello che mi interessa. La disuguaglianza si riduce in questo caso a
\(\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2\geq ab+bc+ac \).
Purtroppo non riesco a venirne a capo. Se vi siete già imbattuti, potreste darmi un indizio della dimostrazione?
Vi ringrazio per l'attenzione.
\(\displaystyle (a_1+...+a_n)^2\leq n\left( (a_1)^2+...+(a_n)^2 \right) \),
valida \(\displaystyle \forall a_1,...,a_n\in\mathbb{R} \) e \(\displaystyle \forall n\in\mathbb{N} \). Sto cercando di dimostrarla nel caso particolare \(\displaystyle n=3 \), che è quello che mi interessa. La disuguaglianza si riduce in questo caso a
\(\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2\geq ab+bc+ac \).
Purtroppo non riesco a venirne a capo. Se vi siete già imbattuti, potreste darmi un indizio della dimostrazione?
Vi ringrazio per l'attenzione.
Risposte
Hai già provato a procedere per induzione?
La base induttiva è vera in conseguenza del fatto che $(a_1-a_2)^2>=0$ $AA a_1,a_2 in RR$:
l'ipotesi induttiva mi sembra,ad occhio,possa esser dimostrata per assurdo..
Saluti dal web.
La base induttiva è vera in conseguenza del fatto che $(a_1-a_2)^2>=0$ $AA a_1,a_2 in RR$:
l'ipotesi induttiva mi sembra,ad occhio,possa esser dimostrata per assurdo..
Saluti dal web.
La potenza \(f(x):=x^p\) è una funzione convessa in \([0,+\infty]\) per \(p\geq 1\) (poiché ha la derivata prima crescente); quindi scelti \(n\) numeri \(a_1,\ldots ,a_n\geq 0\) ed altrettanti scalari \(\lambda_1,\ldots , \lambda_n\in [0,1]\) soddisfacenti la condizione \(\lambda_1+\cdots +\lambda_n=1\), si ha:
\[
\begin{split}
\left( \lambda_1\ a_1 + \lambda_2\ a_2+\cdots + \lambda_n\ a_n \right)^p &= f\left( \sum_{k=1}^n \lambda_k\ a_k\right) \\
&\! \! \! \! \! \stackrel{\text{convex}}{\leq} \sum_{k=1}^n \lambda_k\ f(a_k) \\
&= \lambda_1\ a_1^p + \lambda_2\ a_2^p+\cdots + \lambda_n\ a_n^p\; ;
\end{split}
\]
in particolare, scegliendo \(\lambda_1=\cdots =\lambda_n=1/n\), dalla precedente si trae:
\[
\frac{1}{n^p}\ \left( a_1 + a_2+\cdots + a_n \right)^p \leq \frac{1}{n}\ \left( a_1^p +a_2^p+\cdots + a_n^p\right)\; ,
\]
cioè:
\[ \tag{A}
\left( a_1 + a_2+\cdots + a_n \right)^p \leq n^{p-1}\ \left( a_1^p +a_2^p+\cdots + a_n^p \right)\; .
\]
Cosa succede se prendi \(p=2\) nella (A)?
\[
\begin{split}
\left( \lambda_1\ a_1 + \lambda_2\ a_2+\cdots + \lambda_n\ a_n \right)^p &= f\left( \sum_{k=1}^n \lambda_k\ a_k\right) \\
&\! \! \! \! \! \stackrel{\text{convex}}{\leq} \sum_{k=1}^n \lambda_k\ f(a_k) \\
&= \lambda_1\ a_1^p + \lambda_2\ a_2^p+\cdots + \lambda_n\ a_n^p\; ;
\end{split}
\]
in particolare, scegliendo \(\lambda_1=\cdots =\lambda_n=1/n\), dalla precedente si trae:
\[
\frac{1}{n^p}\ \left( a_1 + a_2+\cdots + a_n \right)^p \leq \frac{1}{n}\ \left( a_1^p +a_2^p+\cdots + a_n^p\right)\; ,
\]
cioè:
\[ \tag{A}
\left( a_1 + a_2+\cdots + a_n \right)^p \leq n^{p-1}\ \left( a_1^p +a_2^p+\cdots + a_n^p \right)\; .
\]
Cosa succede se prendi \(p=2\) nella (A)?
@gugo82: Gran bella dimostrazione; ti ringrazio molto. Non mi sarebbe mai venuto in mente di usare la convessità, né tanto meno che si potesse scrivere nel modo che hai usato. Apprezzo inoltre il risultato più generale che hai provato.
@theras: Grazie per la risposta. Anch'io ho tentato proprio questo approccio, ma non sono riuscito a venire a capo. Mi riducevo a un'espressione un po' incasinata. Probabilmente si può falsificare, ma ora non mi sovviene il modo.
@theras: Grazie per la risposta. Anch'io ho tentato proprio questo approccio, ma non sono riuscito a venire a capo. Mi riducevo a un'espressione un po' incasinata. Probabilmente si può falsificare, ma ora non mi sovviene il modo.
@Umlaut: Grazie.
Per quanto riguarda l'induzione da usare, il classico Principio d'Induzione in prima forma non credo porti da nessuna parte.
D'altra parte, quella che vuoi provare è, in fondo, una disuguaglianza tra medie (aritmetica e quadratica, per la precisione); dunque potresti provare ad usare l'induzione "tipo Cauchy": provi con il Principio in prima forma che la disuguaglianza vale per tutti gli \(n=2^m\) (facendo induzione su \(m\), ovviamente); poi cerchi di ricondurre il caso \(n\neq 2^m\) ad un opportuno caso con \(n^\prime =2^{m^\prime}\) già trattato in precedenza.
Per quanto riguarda l'induzione da usare, il classico Principio d'Induzione in prima forma non credo porti da nessuna parte.
D'altra parte, quella che vuoi provare è, in fondo, una disuguaglianza tra medie (aritmetica e quadratica, per la precisione); dunque potresti provare ad usare l'induzione "tipo Cauchy": provi con il Principio in prima forma che la disuguaglianza vale per tutti gli \(n=2^m\) (facendo induzione su \(m\), ovviamente); poi cerchi di ricondurre il caso \(n\neq 2^m\) ad un opportuno caso con \(n^\prime =2^{m^\prime}\) già trattato in precedenza.
Grazie per la risposta. Proverò coi metodi che suggerisci per estendere il risultato \(\displaystyle \forall a_i\in\mathbb{R} \).
P.S.: Ho levato l'espressione che avevo messo nel messaggio precedente perché era sbagliata.
P.S.: Ho levato l'espressione che avevo messo nel messaggio precedente perché era sbagliata.
Pensavo peggio, invece non è poi così complicato dimostrare l'asserto utilizzando l'induzione classica:
A meno di miei errori
@Gi8(ed indirettamente agli altri..).
Ed infatti,dietro la tua verifica tramite la prima forma del principio d'induzione,ci stà l'osservazione che,
fissati a piacere $overline(n) in NN,overline(a)_1,...,overline(a)_(overline(n)) inRR$ e posto $overline(M)=(overline(a)_1+..+overline(a)_(overline(n)))/(overline(n))$,
la disuguaglianza proposta nel messaggio originario è conseguenza "elementare" del fatto ovvio che $0<=((overline(a)_1-overline(M))^2+...+(overline(a)_(overline(n))-overline(M))^2)/(overline(n))$(1);
tanto è vero che ieri avevo inizialmente pensato ad "inventarmi" qualche opportuna funzione reale di $n$ variabili reali
(e quì,come sempre,Gugo ha trovato modo per far Di Meglio
,
col suo procedimento sulla convessità di quell'opportuna funzione reale di una sola variabile reale,
ben più snello ed elegante di quello che ho abortito sul nascere,
tramite il quale è giunto a conclusioni più generali le quali mi sembrano una sorta di versione "discreta" di una disuguaglianza integrale presente da qualche parte nella mia memoria sulla quale,se vorrà e non mi sbagliassi,
magari farà luce in seguito..):
ma accortomi nel cercarla della parentela "immediata" tra la (1) e la dis. in questione,
ho ritenuto possibile fosse un esercizio della prima parte d'un corso d'Analisi I ed ho pensato,pertanto,andasse bene il consiglio di suggerire la prima forma del principio d'induzione..
Questo lo scrivo a conferma della mirabilia di questo semplice mezzo del Forum:
tante visuali a confronto,anche su quesiti semplici, fanno crescere bene da qualunque livello si parta nel leggere!
Saluti dal web.
P.S.Se qualcuno è interessato a dedurre dalla (1) la disuguaglianza presente nel post iniziale,e non riuscisse,
faccia un fischio che la posto
(ammesso e non concesso che io sopravviva ai metodi iterativi in tutte le salse del Calcolo Numerico
)!
Ed infatti,dietro la tua verifica tramite la prima forma del principio d'induzione,ci stà l'osservazione che,
fissati a piacere $overline(n) in NN,overline(a)_1,...,overline(a)_(overline(n)) inRR$ e posto $overline(M)=(overline(a)_1+..+overline(a)_(overline(n)))/(overline(n))$,
la disuguaglianza proposta nel messaggio originario è conseguenza "elementare" del fatto ovvio che $0<=((overline(a)_1-overline(M))^2+...+(overline(a)_(overline(n))-overline(M))^2)/(overline(n))$(1);
tanto è vero che ieri avevo inizialmente pensato ad "inventarmi" qualche opportuna funzione reale di $n$ variabili reali
(e quì,come sempre,Gugo ha trovato modo per far Di Meglio
,col suo procedimento sulla convessità di quell'opportuna funzione reale di una sola variabile reale,
ben più snello ed elegante di quello che ho abortito sul nascere,
tramite il quale è giunto a conclusioni più generali le quali mi sembrano una sorta di versione "discreta" di una disuguaglianza integrale presente da qualche parte nella mia memoria sulla quale,se vorrà e non mi sbagliassi,
magari farà luce in seguito..):
ma accortomi nel cercarla della parentela "immediata" tra la (1) e la dis. in questione,
ho ritenuto possibile fosse un esercizio della prima parte d'un corso d'Analisi I ed ho pensato,pertanto,andasse bene il consiglio di suggerire la prima forma del principio d'induzione..
Questo lo scrivo a conferma della mirabilia di questo semplice mezzo del Forum:
tante visuali a confronto,anche su quesiti semplici, fanno crescere bene da qualunque livello si parta nel leggere!
Saluti dal web.
P.S.Se qualcuno è interessato a dedurre dalla (1) la disuguaglianza presente nel post iniziale,e non riuscisse,
faccia un fischio che la posto
(ammesso e non concesso che io sopravviva ai metodi iterativi in tutte le salse del Calcolo Numerico
)!
Una soluzione iperelementare. La posto nel caso di tre sole variabili ma è facilmente estendibile al caso generale ( senza induzione).
Se a,b,c sono reali, abbiamo evidentemente che :
\(\displaystyle (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \)
Ovvero :
\(\displaystyle a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca \geq 0 \)
Da cui appunto :
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca \)
Se a,b,c sono reali, abbiamo evidentemente che :
\(\displaystyle (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \)
Ovvero :
\(\displaystyle a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca \geq 0 \)
Da cui appunto :
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca \)
Grande vittorino70! Ora, lo so che suona ipocrita detto a posteriori, ma ti giuro che alla fine è venuta anche a me l'illuminazione sul tram! Ciononostante, mi sento veramente uno stupido...
Molto bella la dimostrazione generale di Gi8, che era ciò che tentavo disperatamente di fare.
Aggiungo la mia,per completezza,e parto osservando che,fermo restante il significato dei simboli adottati nel mio post precedente,
si ha $0<=((a_1-M)^2+..+(a_n-M)^2)/n=...=((a_1^2+..+a_n^2)+nM^2-2M(a_1+..+a_n))/n=$
$=(a_1^2+..+a_n^2)/n+M^2-2M(a_1+..+a_n)/n=(a_1^2+..+a_n^2)/n+M^2-2M*M rArrM^2<=(a_1^2+..+a_n^2)/n$:
da ciò desumiamo che
$((a_1+..+a_n)/n)^2<=(a_1^2+..+a_n^2)/n rArr ((a_1+..+a_n)^2)/(n^2)<=(a_1^2+..+a_n^2)/n rArr$
$rArr(a_1+..+a_n)^2<=(n^2)/n (a_1^2+..+a_n^2)=n(a_1^2+..+a_n^2)$,
e la veridicità della disuguaglianza presente nel post originario è allora conseguenza dell'arbitrarietà degli enti in questione.
Saluti dal web.
si ha $0<=((a_1-M)^2+..+(a_n-M)^2)/n=...=((a_1^2+..+a_n^2)+nM^2-2M(a_1+..+a_n))/n=$
$=(a_1^2+..+a_n^2)/n+M^2-2M(a_1+..+a_n)/n=(a_1^2+..+a_n^2)/n+M^2-2M*M rArrM^2<=(a_1^2+..+a_n^2)/n$:
da ciò desumiamo che
$((a_1+..+a_n)/n)^2<=(a_1^2+..+a_n^2)/n rArr ((a_1+..+a_n)^2)/(n^2)<=(a_1^2+..+a_n^2)/n rArr$
$rArr(a_1+..+a_n)^2<=(n^2)/n (a_1^2+..+a_n^2)=n(a_1^2+..+a_n^2)$,
e la veridicità della disuguaglianza presente nel post originario è allora conseguenza dell'arbitrarietà degli enti in questione.
Saluti dal web.
Ci metto il becco anch'io, tanto per completare l'opera.
Utilizzo la disuguaglianza \( 2ab \leq a^2+b^2\)
\( \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}\leq\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}+a_{j}^{2}\right)\)
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)a_{i}^{2}+\sum_{i=2}^{n}(i-1)a_{i}^{2}=n \sum_{i=1}^na_i^2\)
Utilizzo la disuguaglianza \( 2ab \leq a^2+b^2\)
\( \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}\leq\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}+a_{j}^{2}\right)\)
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)a_{i}^{2}+\sum_{i=2}^{n}(i-1)a_{i}^{2}=n \sum_{i=1}^na_i^2\)
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