Somma di numeri complessi in modulo e fase...
ciao ragazzi,
sto facendo un esame di teoria dei segnali, e mi trovo spesso a dover ricondurre una somma di segnali nella forma modulo e fase, così da poter tracciare il grafico della risposta di un filtro in modulo e fase...
questa operazione in genere è tranquilla, nel senso che negli esercizi che ci danno capitano quasi sempre segnali che possono esser ricondotti a seni e coseni, però non sempre è così. Ad esempio ora ho davanti un esercizio in cui ho una somma di tre termini del tipo $rect(...)e^(j*fase)$, e non so come ricondurla ad un solo segnale in modulo e fase...
potete aiutarmi?
grazie a tutti
sto facendo un esame di teoria dei segnali, e mi trovo spesso a dover ricondurre una somma di segnali nella forma modulo e fase, così da poter tracciare il grafico della risposta di un filtro in modulo e fase...
questa operazione in genere è tranquilla, nel senso che negli esercizi che ci danno capitano quasi sempre segnali che possono esser ricondotti a seni e coseni, però non sempre è così. Ad esempio ora ho davanti un esercizio in cui ho una somma di tre termini del tipo $rect(...)e^(j*fase)$, e non so come ricondurla ad un solo segnale in modulo e fase...
potete aiutarmi?
grazie a tutti
Risposte
forse sono stato un pò vago, vi spiego meglio il problema...
ho un segnale così definito: $W(f) = G(f) - H(f)$, con $G(f) = rect(f/(2B))$ e $H(f) = rect((f-B)/(2B))e^(jpi/2) + rect((f+B)/(2B))e^(-jpi/2)$.
Devo disegnare W(f). Ovviamente non si possono sommare semplicemente moduli e fasi pena decapitazione (l'operazione però è lecita nel caso che i segnali da sommare siano non nulli in intervalli disgiunti, vero?)... però non so come procedere...
potete aiutarmi?
vi ringrazio
ho un segnale così definito: $W(f) = G(f) - H(f)$, con $G(f) = rect(f/(2B))$ e $H(f) = rect((f-B)/(2B))e^(jpi/2) + rect((f+B)/(2B))e^(-jpi/2)$.
Devo disegnare W(f). Ovviamente non si possono sommare semplicemente moduli e fasi pena decapitazione (l'operazione però è lecita nel caso che i segnali da sommare siano non nulli in intervalli disgiunti, vero?)... però non so come procedere...
potete aiutarmi?
vi ringrazio
La funzione della quale devi disegnare il modulo è:
[tex]W(f)=\text{rect}\left(\frac{f}{2B}\right)-\text{rect}\left(\frac{f-B}{2B}\right)e^{j\frac{\pi}{2}}-\text{rect}\left(\frac{f+B}{2B}\right)e^{-j\frac{\pi}{2}}[/tex]
Da come è definita la funzione [tex]\text{rect}[/tex], è facile vedere che il primo rettangolo è centrato in [tex]f=0[/tex] pari ad [tex]1[/tex] e non nullo solo in [tex]-B< f
[tex]W(f)=\begin{cases}
-e^{-j\frac{\pi}{2}} & \text{se } -2B< f <-B \\
1-e^{-j\frac{\pi}{2}} & \text{se } -B< f <0 \\
1-e^{j\frac{\pi}{2}} & \text{se } 0< f -e^{j\frac{\pi}{2}} & \text{se } B< f <2B \\
\end{cases}[/tex]
Dal momento che la funzione contiene delle discontinuità di prima specie agli estremi di ogni intervallo, ho omesso le uguaglianze.
Dunque il suo modulo vale:
[tex]|W(f)|=\begin{cases}
1 & \text{se } -2B< f <-B \\
\sqrt{2} & \text{se } -B< f 1 & \text{se } B< f <2B \\
\end{cases}[/tex]
Lascio a te dimostrarlo.
[tex]W(f)=\text{rect}\left(\frac{f}{2B}\right)-\text{rect}\left(\frac{f-B}{2B}\right)e^{j\frac{\pi}{2}}-\text{rect}\left(\frac{f+B}{2B}\right)e^{-j\frac{\pi}{2}}[/tex]
Da come è definita la funzione [tex]\text{rect}[/tex], è facile vedere che il primo rettangolo è centrato in [tex]f=0[/tex] pari ad [tex]1[/tex] e non nullo solo in [tex]-B< f
[tex]W(f)=\begin{cases}
-e^{-j\frac{\pi}{2}} & \text{se } -2B< f <-B \\
1-e^{-j\frac{\pi}{2}} & \text{se } -B< f <0 \\
1-e^{j\frac{\pi}{2}} & \text{se } 0< f -e^{j\frac{\pi}{2}} & \text{se } B< f <2B \\
\end{cases}[/tex]
Dal momento che la funzione contiene delle discontinuità di prima specie agli estremi di ogni intervallo, ho omesso le uguaglianze.
Dunque il suo modulo vale:
[tex]|W(f)|=\begin{cases}
1 & \text{se } -2B< f <-B \\
\sqrt{2} & \text{se } -B< f 1 & \text{se } B< f <2B \\
\end{cases}[/tex]
Lascio a te dimostrarlo.
grazie per la risposta....
l'ho fatto e torna, basandomi su queste considerazioni... ti sarei grato se mi dicessi se c'è una via più semplice...
negli intervalli frequenziali in cui c'è soltanto una funzione non nulla in pratica ho fatto l'unione degli spettri.. laddove c'è più di una funzione non nulla, ho scritto le funzioni in maniera furba (spezzando i gradini in modo oculato), ed ho semplificato analiticamente le espressioni trovate, facendo comparire dei coseni e dei termini di fase. A quel punto ho unito gli spettri trovati nelle due maniere, cosa lecita perchè essi sono non nulli in intervalli disgiunti.
E' corretto?
l'ho fatto e torna, basandomi su queste considerazioni... ti sarei grato se mi dicessi se c'è una via più semplice...
negli intervalli frequenziali in cui c'è soltanto una funzione non nulla in pratica ho fatto l'unione degli spettri.. laddove c'è più di una funzione non nulla, ho scritto le funzioni in maniera furba (spezzando i gradini in modo oculato), ed ho semplificato analiticamente le espressioni trovate, facendo comparire dei coseni e dei termini di fase. A quel punto ho unito gli spettri trovati nelle due maniere, cosa lecita perchè essi sono non nulli in intervalli disgiunti.
E' corretto?
Si, il ragionamento è corretto. Non credo ci sia una via più semplice 
grazie tante 
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