Somma di k^2 per k che va da 0 a N
Ok, sul residuo del punto all'infinito non mi ha saputo o voluto rispondere nessuno... 
Questa è più facile: come si calcolano le serie : $ sum_(k=0)^(N) k^2$ e $sum_(k=0)^(N) k^3 $ ??
la $ sum_(k=0)^(N) k$ l'ho sempre immaginata sommando il primo all'ultimo termine, il secondo al penultimo, e così via fino ad arrivare al centro, e distingundo i casi di N pari dai casi di N dispari (in quest'ultimo caso alla fine resta un termine non accoppiato al centro) e dimostrando che in entrambi i casi si ha $N/2(N+1)$
Ma ora con i quadrati e con i cubi non saprei proprio come mettere le mani...
C'è qualche costruzione geometrica semplice che non fa uso di teoremi sulle serie ??
Grazie in anticipo...
Questa è più facile: come si calcolano le serie : $ sum_(k=0)^(N) k^2$ e $sum_(k=0)^(N) k^3 $ ??
la $ sum_(k=0)^(N) k$ l'ho sempre immaginata sommando il primo all'ultimo termine, il secondo al penultimo, e così via fino ad arrivare al centro, e distingundo i casi di N pari dai casi di N dispari (in quest'ultimo caso alla fine resta un termine non accoppiato al centro) e dimostrando che in entrambi i casi si ha $N/2(N+1)$
Ma ora con i quadrati e con i cubi non saprei proprio come mettere le mani...
C'è qualche costruzione geometrica semplice che non fa uso di teoremi sulle serie ??
Grazie in anticipo...
Risposte
Penso di non aver capito la tua richiesta: vuoi "solo" sapere come si calcola la somma dei primi $N$ quadrati/cubi?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Non "solo": vorrei sapere se esiste un metodo intuitivo per queste due serie simile a quello per la serie $ sum_(k = 0)^(N)k=N/2*(N+1) $
Innanzitutto quelle non sono due serie ma due semplici sommatorie.
Poi:
• \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} = 0 + \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
• \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{3} = 0 + \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left ( \sum_{k=1}^{n} k \right )^{2} \)
Entrambe le uguaglianze si provano per induzione.
Poi:
• \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} = 0 + \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
• \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{3} = 0 + \sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left ( \sum_{k=1}^{n} k \right )^{2} \)
Entrambe le uguaglianze si provano per induzione.
Grazie, ma avevo dimenticato di scrivere che non mi interessava la dimostrazione per induzione, per me qeulle per induzione sono delle "non-dimostrazoni"... A dire il vero l'avevo anche scritto, ma poi mi sono allontanato dal pc e non ho aggiornato il messaggio...
P.S.: però avevo scritto "modo intuitivo" e le dimostarzioni per induzione sono quanto di più lontano possa esistere da qualcosa di "intuitivo" (le dimostrazioni per induzione erano l'argomento che ho odiato di più in assoluto in Analisi I, insieme alle succcessioni e ai criteri di convergenza assoluta e uniforme... mi viene la nausea solo a pensarci !!)
P.S.: però avevo scritto "modo intuitivo" e le dimostarzioni per induzione sono quanto di più lontano possa esistere da qualcosa di "intuitivo" (le dimostrazioni per induzione erano l'argomento che ho odiato di più in assoluto in Analisi I, insieme alle succcessioni e ai criteri di convergenza assoluta e uniforme... mi viene la nausea solo a pensarci !!)
Ecco, una dmostrazione simpatica l'ho trovata:
Premessa:
$ sum_(k = 1)^(N) k = N/2(N+1)=N^2/2+N/2 $
$ 2sum_(k = 1)^(N) k = N/2(N+1)=N^2+N $
$ 2sum_(k = 1)^(N) k = N/2(N+1)=N^2+sum_(k = 1)^(N) 1 $
$ sum_(k = 1)^(N) (2k-1) =N^2 $
Ad esempio: $25=1+3+5+7+9= sum_(k = 1)^(5) (2k-1)$
Ribatezzando le lettere:
$ sum_(l = 1)^(k) (2l-1) = k/2(k+1)=k^2$
E quindi
$ sum_(k = 1)^(N) k^2 = sum_(k = 1)^(N) sum_(l = 1)^(k) (2l-1)$
Ora si riarrangiano i termini IN MODO SIMILE a come si faceva per $ sum_(k = 1)^(N) k$ (me lo sentivo che un modo c'era...):
Fissando N=5:
$ sum_(k = 1)^(5) k^2 = | ( 1 = ),( 4 =),( 9 =),( 16 =),( 25 =) | | ( 1 , , , , ),( 1 , 3 , , , ),( 1 , 3 , 5 , , ),( 1 , 3 , 5 , 7 , ),( 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) | = | ( =sum_(l = 1)^(1) (2l-1) ),(=sum_(l = 1)^(2) (2l-1) ),( =sum_(l = 1)^(3) (2l-1) ),( =sum_(l = 1)^(4) (2l-1) ),( =sum_(l = 1)^(5) (2l-1) ) |= sum_(k = 1)^(N) sum_(l = 1)^(k) (2l-1)$
Se ora anzichè ragionare sulle righe ragioniamo sulle colonne, potremmo ottenere un altro modo di esprimere la somma dei vari elementi della "matrice" (e lo so che non si chiama matrice, ma non rompete, please...)
Partendo dall'angolo in basso a destra e spostandoci colonna per colonna verso sinistra avremo:
$ 1*9+2*7+3*5+4*3+5*1=$
$=1*(2N-1)+2*(2N-1-2)+3*(2N-1-4)+4*(2N-1-6)+5(2N-1-8)=$
$=1*(2N+1-2)+2*(2N+1-4)+3*(2N+1-6)+4*(2N+1-8)+5(2N+1-10)=sum_(k = 1)^(5) k(2N+1-2k) $
E questa si può generalizzare per un N qualsiasi:
$sum_(k = 1)^(N) k(2N+1-2k) = sum_(k = 1)^(N) (2Nk+k-2k^2) =(2N+1)*sum_(k = 1)^(N) k-2sum_(k = 1)^(N)k^2 = (2N+1)N/2(N+1)-2sum_(k = 1)^(N)k^2 = $
e in definitiva:
$sum_(k = 1)^(N)k^2=N/2*(N+1)(2N+1)-2sum_(k = 1)^(N)k^2 = $
da cui, spostando l'ultimo termine a sinistra:
$3sum_(k = 1)^(N)k^2=N/2*(N+1)(2N+1)$
e infine:
$sum_(k = 1)^(N)k^2=N/6(N+1)(2N+1) $
FIGATA !!!!
E ora se permettete le dmostrazioni per induzione le lascio dove stanno (il più lontano possibile da me !!)
______________________________________________________________________________________________
P.S.: quasi dimenticavo: ora tocca capire come si fa per $k^3$, temo fortemente qualche giochino geometrico in 3 dimensioni, se tanto mi da tanto...
Premessa:
$ sum_(k = 1)^(N) k = N/2(N+1)=N^2/2+N/2 $
$ 2sum_(k = 1)^(N) k = N/2(N+1)=N^2+N $
$ 2sum_(k = 1)^(N) k = N/2(N+1)=N^2+sum_(k = 1)^(N) 1 $
$ sum_(k = 1)^(N) (2k-1) =N^2 $
Ad esempio: $25=1+3+5+7+9= sum_(k = 1)^(5) (2k-1)$
Ribatezzando le lettere:
$ sum_(l = 1)^(k) (2l-1) = k/2(k+1)=k^2$
E quindi
$ sum_(k = 1)^(N) k^2 = sum_(k = 1)^(N) sum_(l = 1)^(k) (2l-1)$
Ora si riarrangiano i termini IN MODO SIMILE a come si faceva per $ sum_(k = 1)^(N) k$ (me lo sentivo che un modo c'era...):
Fissando N=5:
$ sum_(k = 1)^(5) k^2 = | ( 1 = ),( 4 =),( 9 =),( 16 =),( 25 =) | | ( 1 , , , , ),( 1 , 3 , , , ),( 1 , 3 , 5 , , ),( 1 , 3 , 5 , 7 , ),( 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) | = | ( =sum_(l = 1)^(1) (2l-1) ),(=sum_(l = 1)^(2) (2l-1) ),( =sum_(l = 1)^(3) (2l-1) ),( =sum_(l = 1)^(4) (2l-1) ),( =sum_(l = 1)^(5) (2l-1) ) |= sum_(k = 1)^(N) sum_(l = 1)^(k) (2l-1)$
Se ora anzichè ragionare sulle righe ragioniamo sulle colonne, potremmo ottenere un altro modo di esprimere la somma dei vari elementi della "matrice" (e lo so che non si chiama matrice, ma non rompete, please...)
Partendo dall'angolo in basso a destra e spostandoci colonna per colonna verso sinistra avremo:
$ 1*9+2*7+3*5+4*3+5*1=$
$=1*(2N-1)+2*(2N-1-2)+3*(2N-1-4)+4*(2N-1-6)+5(2N-1-8)=$
$=1*(2N+1-2)+2*(2N+1-4)+3*(2N+1-6)+4*(2N+1-8)+5(2N+1-10)=sum_(k = 1)^(5) k(2N+1-2k) $
E questa si può generalizzare per un N qualsiasi:
$sum_(k = 1)^(N) k(2N+1-2k) = sum_(k = 1)^(N) (2Nk+k-2k^2) =(2N+1)*sum_(k = 1)^(N) k-2sum_(k = 1)^(N)k^2 = (2N+1)N/2(N+1)-2sum_(k = 1)^(N)k^2 = $
e in definitiva:
$sum_(k = 1)^(N)k^2=N/2*(N+1)(2N+1)-2sum_(k = 1)^(N)k^2 = $
da cui, spostando l'ultimo termine a sinistra:
$3sum_(k = 1)^(N)k^2=N/2*(N+1)(2N+1)$
e infine:
$sum_(k = 1)^(N)k^2=N/6(N+1)(2N+1) $
FIGATA !!!!
E ora se permettete le dmostrazioni per induzione le lascio dove stanno (il più lontano possibile da me !!)
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P.S.: quasi dimenticavo: ora tocca capire come si fa per $k^3$, temo fortemente qualche giochino geometrico in 3 dimensioni, se tanto mi da tanto...
Premesso che per me il principio di induzione è molto "intuitivo", sui gusti però non si discute, quelle formule si dimostrano anche senza utilizzare il P.I.M.
Per esempio $sum_(k=1)^n k^2=(n(n+1)(2n+1))/6$ si dimostra usando le somme telescopiche e la seguente identità $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ che diventa $[(k+1)^3-k^3-3k-1]/3=k^2$ da cui $sum_(k=1)^n k^2=sum_(k=1)^n [(k+1)^3-k^3]/3-sum_(k=1)^n k-sum_(k=1)^n 1/3=(n(n+1)(2n+1))/6$
In modo analogo si dimostra per $k^3$ e a seguire ...
Cordialmente, Alex
Per esempio $sum_(k=1)^n k^2=(n(n+1)(2n+1))/6$ si dimostra usando le somme telescopiche e la seguente identità $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ che diventa $[(k+1)^3-k^3-3k-1]/3=k^2$ da cui $sum_(k=1)^n k^2=sum_(k=1)^n [(k+1)^3-k^3]/3-sum_(k=1)^n k-sum_(k=1)^n 1/3=(n(n+1)(2n+1))/6$
In modo analogo si dimostra per $k^3$ e a seguire ...
Cordialmente, Alex
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