Somma di infiniti addendi
Salve a tutti,
vorrei chiedere quanto segue: se sommiamo infiniti addendi del tipo 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ecc ecc
avremo una somma infinita che TENDE a 1 oppure il risultato di tale somma E' 1?
grazie a chi voglia rispondere
vorrei chiedere quanto segue: se sommiamo infiniti addendi del tipo 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ecc ecc
avremo una somma infinita che TENDE a 1 oppure il risultato di tale somma E' 1?
grazie a chi voglia rispondere
Risposte
Eh, buona domanda. Io uso dire: "la somma della serie è $1$" e "la successione delle somme parziali tende a $1$". In questo caso, il termine "serie" fa capire che c'è un processo di limite e non solo una somma algebrica. Dire che "la somma tende a $1$" in ogni caso mi pare da evitare, ma immagino che qualcuno non sarà d'accordo con me.
Perfettamente d'accordo con dissonance.
Infatti, la somma di una serie è il risultato di un'operazione di limite (qualora essa sia effettivamente possibile), precisamente la somma di una serie è il limite della successione delle somme parziali associate alla serie, i.e.:
\[
\lim_N \sum_{n=1}^N a_n = s \in \widehat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\; .
\]
Nel linguaggio corrente (e corretto), si dice che "il limite della successione di termine generale \(\sum_{n=1}^N a_n\) è -o vale- $s$" e che "la successione di termine generale \(\sum_{n=1}^N a_n\) tende a $s$", ma non si dice affatto che "il limite della successione di termine generale \(\sum_{n=1}^N a_n\) tende a $s$".[nota]In altri termini, il verbo tendere si usa riferito alle successioni, non ai limiti.[/nota]
Conseguentemente, si dice che "la somma della serie è $s$" e non che "la somma della serie tende ad $s$".
Infatti, la somma di una serie è il risultato di un'operazione di limite (qualora essa sia effettivamente possibile), precisamente la somma di una serie è il limite della successione delle somme parziali associate alla serie, i.e.:
\[
\lim_N \sum_{n=1}^N a_n = s \in \widehat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\; .
\]
Nel linguaggio corrente (e corretto), si dice che "il limite della successione di termine generale \(\sum_{n=1}^N a_n\) è -o vale- $s$" e che "la successione di termine generale \(\sum_{n=1}^N a_n\) tende a $s$", ma non si dice affatto che "il limite della successione di termine generale \(\sum_{n=1}^N a_n\) tende a $s$".[nota]In altri termini, il verbo tendere si usa riferito alle successioni, non ai limiti.[/nota]
Conseguentemente, si dice che "la somma della serie è $s$" e non che "la somma della serie tende ad $s$".
Possiamo quindi dire che la semplice somma algebrica della serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ecc ecc è un procedimento infinito, e che, per ovviare, interviene il concetto di limite. Siete d'accordo?
Quando tu scrivi $\sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{2n}$ in realtà non vuoi fare una somma di infiniti termini. Tu ne sommi un numero finito, e poi cerchi di vedere cosa succede se ne sommi "tanti"... Infatti quello che tu fai in realtà è $lim_{T to +infty} \sum_{n=1}^T frac{1}{2n}$... come già detto in altre parole da Gugo.
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