Somma di esponenziali complessi

[rolando3]

[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b4e46dc264000ba5067e4d77d5803e1c481682[/img]
L'immagine è presa da Wikipedia. Come si giustifica la somma dei due esponenziali alla penultima riga?

[Raptorista1]

La somma di due numeri complessi è un numero complesso.

[pilloeffe]

Ciao rolando3,

Benvenuto sul forum!

Più in dettaglio:

$Re[(A_3 e^{i\theta_3}) e^{i\omega t}] = Re[A_3 e^{i(\omega t + \theta_3)}] = Re[A_3 \cos(\omega t + \theta_3) + iA_3\sin (\omega t + \theta_3)] = A_3 \cos(\omega t + \theta_3)$

[rolando3]

Rispondo un po' in ritardo.
Il numero complesso che risulta dalla somma può sempre essere ricondotto a un fasore?

[pilloeffe]

Beh, se sai cos'è un fasore (e se hai fatto la domanda immagino che tu lo sappia) a questa domanda dovresti saper rispondere da solo... Comunque, se $x_3(t) = A_3 \cos(\omega t + \theta_3)$, si ha:

$x_3(t) = A_3 \cos(\omega t + \theta_3) = Re[A_3 e^{i(\omega t + \theta_3)}]$

Per cui il fasore rappresentativo di $x_3(t)$ è $\bb X_3 = A_3 e^{i\theta_3}$

[rolando3]

Chiedo scusa ma mi sono espresso male.
Intendevo questo:
$A_1 e^{i(\omega t + \theta_1)} + A_2 e^{i(\omega t + \theta_2)} = A_3 e^{i(\omega t + \theta_3)}$
Perchè è sempre vero?
So che sono un po duro di comprendonio

[pilloeffe]

Beh, perché ha ragione Raptorista:

"Raptorista":La somma di due numeri complessi è un numero complesso.

In termini di fasori, quella relazione ti dice semplicemente che la somma di due fasori è un fasore:
$Re[A_1 e^{i\theta_1} e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2} e^{i\omega t} ] = Re[\bb X_1 e^{i\omega t} + \bb X_2 e^{i\omega t}] = Re[\bb X_3 e^{i\omega t}]$
ove $\bb X_3 = \bb X_1 + \bb X_2$