Somma di arcotangenti

[ralf86]

Sapete come si dimostra la seguente formula con x, y reali? Grazie

[dissonance]

Da dove viene? Ma sei sicuro che sia vera o lo congetturi?

[solaàl]

La risposta breve è che viene dalla formula che ti dice a cosa è uguale la tangente della somma di due angoli. https://www.math-only-math.com/arctan-x ... tan-y.html

[dissonance]

[gugo82]

"ralf86":Sapete come si dimostra la seguente formula con x, y reali? Grazie

L’insieme di validità della formula è costituito da tre componenti connesse, ragion per cui puoi provare la formula dimostrando che la differenza tra i due membri dell’uguaglianza ha gradiente nullo in ognuna delle tre componenti connesse.

(Poi, come già segnalato, quella roba lì viene fuori dalla formula di addizione della tangente… Ma quella non se la ricorda mai nessuno, mentre le tecniche del Calcolo dovrebbero essere un patrimonio culturale abbastanza condiviso.)

[ralf86]

"solaàl":La risposta breve è che viene dalla formula che ti dice a cosa è uguale la tangente della somma di due angoli. https://www.math-only-math.com/arctan-x ... tan-y.html

Grazie mille.
La dimostrazione del link ha refusi, non dimostra il caso in cui x e y abbiano segni diversi, infine non è chiaro come venga fuori il pigreco nella formula. Potresti chiarire e completare la dimostrazione del link?

[ralf86]

"gugo82":
L’insieme di validità della formula è costituito da tre componenti connesse, ragion per cui puoi provare la formula dimostrando che la differenza tra i due membri dell’uguaglianza ha gradiente nullo in ognuna delle tre componenti connesse.

xy>1 e xy<1? Quale è la terza componente connessa?

"gugo82":
(Poi, come già segnalato, quella roba lì viene fuori dalla formula di addizione della tangente… Ma quella non se la ricorda mai nessuno, mentre le tecniche del Calcolo dovrebbero essere un patrimonio culturale abbastanza condiviso.)

Preferirei dimostrazioni dirette che partano dal LHS (Left Hand Side) e tramite considerazioni logiche giungano al RHS (Right Hand Side), tipo quele del link sopra. Trovo questo metodo di dimostrazione piu utile nella pratica perchè aiuta a ricordare come trasformare il LHS.
Dimostrare tramite gradiente di LHS-RHS implica che uno conosca già la formula, quindi la trovo meno utile.

[gugo82]

"ralf86":[quote="gugo82"]
L’insieme di validità della formula è costituito da tre componenti connesse, ragion per cui puoi provare la formula dimostrando che la differenza tra i due membri dell’uguaglianza ha gradiente nullo in ognuna delle tre componenti connesse.

xy>1 e xy<1? Quale è la terza componente connessa?[/quote]
Fai un disegno…

"ralf86":[quote="gugo82"]
(Poi, come già segnalato, quella roba lì viene fuori dalla formula di addizione della tangente… Ma quella non se la ricorda mai nessuno, mentre le tecniche del Calcolo dovrebbero essere un patrimonio culturale abbastanza condiviso.)

Preferirei dimostrazioni dirette che partano dal LHS (Left Hand Side) e tramite considerazioni logiche giungano al RHS (Right Hand Side), tipo quele del link sopra. Trovo questo metodo di dimostrazione piu utile nella pratica perchè aiuta a ricordare come trasformare il LHS.
Dimostrare tramite gradiente di LHS-RHS implica che uno conosca già la formula, quindi la trovo meno utile.[/quote]
Certo.
Ma stavolta la formula l’avevi e non avevi posto nessun paletto nella richiesta iniziale, quindi… Un “grazie per il suggerimento” sarebbe bastato.

[ralf86]

Grazie Gugo. Viste le tre zone nel piano. E, hai ragione, non avevo posto alcuna condizione sul tipo di dimostrazione nel primo post.