Somma di alcune seminorme è una norma
\( \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} \)\( \newcommand{\abs}[1]{\left\lvert{#1}\right\rvert} \)Buondì. Si prova facilmente che porre
\[
\norm{f}_* := \norm{f^\prime}_\infty + \abs{f(x_0)}
\] per una funzione \( f\colon \left[a,b\right]\to \mathbb R \) derivabile e per qualche \( x_0\in \left[a,b\right] \), dove \( \norm{f}_\infty \) è la norma uniforme della derivata di \( f \), dà una norma sullo spazio \( \mathscr C^1(\left[a,b\right]) \) delle funzioni reali derivabili su \( \left[a,b\right] \) con derivata continua.
Volevo provarlo usando il fatto che 1) la somma di seminorme è una seminorma; e 2) se \( p\colon F\to \mathbb R \) è una seminorma e \( T\colon E\to F \) è lineare, allora la seminorma \( q := p\circ T \) è una norma su \( E \) se e solo se \( T \) è iniettiva e \( p \) è una norma su \( T(E) \).
Nelle notazioni appena introdotte, riesco a dire che \( \norm{{\cdot}}_* \) è una seminorma ponendo \( p_1\colon \mathscr C^1(\left[a,b\right])\to \mathbb R \) pari alla composizione delle
\[
\mathscr C^1(\left[a,b\right])\xrightarrow{{({-})}^\prime}\mathscr C^0(\left[a,b\right])\xrightarrow{\norm{{-}}_\infty} \mathbb R
\] e \( p_2 \) pari alla composizione delle
\[
\mathscr C^1(\left[a,b\right])\xrightarrow{{-}(x_0)}\mathbb R\xrightarrow{\abs{{-}}} \mathbb R
\] dove chiaramente \( {({-})}^\prime \) mappa \( f\mapsto f^\prime \) e \( {-}(x_0) \) valuta \( f\mapsto f(x_0) \) (sono entrambe lineari).
Come faccio a dimostrare che
\[
\norm{{-}}_* = p_1({-}) + p_2({-})
\] è una norma usando solo 1) e 2) (cioè senza fare conti)? Dovrebbe essere davvero una scemenza ma non mi viene.
\[
\norm{f}_* := \norm{f^\prime}_\infty + \abs{f(x_0)}
\] per una funzione \( f\colon \left[a,b\right]\to \mathbb R \) derivabile e per qualche \( x_0\in \left[a,b\right] \), dove \( \norm{f}_\infty \) è la norma uniforme della derivata di \( f \), dà una norma sullo spazio \( \mathscr C^1(\left[a,b\right]) \) delle funzioni reali derivabili su \( \left[a,b\right] \) con derivata continua.
Volevo provarlo usando il fatto che 1) la somma di seminorme è una seminorma; e 2) se \( p\colon F\to \mathbb R \) è una seminorma e \( T\colon E\to F \) è lineare, allora la seminorma \( q := p\circ T \) è una norma su \( E \) se e solo se \( T \) è iniettiva e \( p \) è una norma su \( T(E) \).
Nelle notazioni appena introdotte, riesco a dire che \( \norm{{\cdot}}_* \) è una seminorma ponendo \( p_1\colon \mathscr C^1(\left[a,b\right])\to \mathbb R \) pari alla composizione delle
\[
\mathscr C^1(\left[a,b\right])\xrightarrow{{({-})}^\prime}\mathscr C^0(\left[a,b\right])\xrightarrow{\norm{{-}}_\infty} \mathbb R
\] e \( p_2 \) pari alla composizione delle
\[
\mathscr C^1(\left[a,b\right])\xrightarrow{{-}(x_0)}\mathbb R\xrightarrow{\abs{{-}}} \mathbb R
\] dove chiaramente \( {({-})}^\prime \) mappa \( f\mapsto f^\prime \) e \( {-}(x_0) \) valuta \( f\mapsto f(x_0) \) (sono entrambe lineari).
Come faccio a dimostrare che
\[
\norm{{-}}_* = p_1({-}) + p_2({-})
\] è una norma usando solo 1) e 2) (cioè senza fare conti)? Dovrebbe essere davvero una scemenza ma non mi viene.
Risposte
Scusa ma se nel punto 2) non fai alcun riferimento alle somme come puoi sperare di applicarlo nel caso di una somma? Piuttosto sostituiscilo con: la somma è una norma $<=>$ l'unico elemento che si annulla per tutte le seminorme è l'origine.
Veloce prima che arrivi dissonance a dirti di fare tutti i conti
Veloce prima che arrivi dissonance a dirti di fare tutti i conti
Il problema è: "chi sarebbe $T$?".
Ma anche: perché complicarsi la vita per fare un conto così semplice?
Ma anche: perché complicarsi la vita per fare un conto così semplice?
"otta96":
prima che arrivi dissonance a dirti di fare tutti i conti
Io in realtá vengo a dire: fai bene, anzi benissimo, a porti domande in autonomia. Ma cerca di porti domande concrete, la cui risposta é un numero, invece di queste robe qui. Questo consiglio viene da uno che ha passato anni a rimuginare su robe come questa, e che poi ha dovuto fare un bagno di realtá quando é arrivato al dottorato e si é accorto che non era capace di fare conti.
Si però, per dire, nel post sugli insiemi convessi non è che se uno se lo chiede solo per spazi normati la risposta è un numero.
Allora, l'esercizio non me lo sono inventato il ma è il 2.13 a pagina 126 qui.
Non c'è una T ma ben due: una è la "derivata" e un'altra è la "valutazione in \( x_0 \)". Sarebbe da dirlo meglio ma sono in treno (e con due valigie che continuano a cadere pure), quindi se non si capisce mi spiego meglio dopo. Ah, occhio che p1 e p2 dovrebbero essere invece "q1" e "q2", seguendo le notazioni del post.
Se non muoio prima dopo vi mostro perché conoscere questo fatto (intendo quello che enuncio nel p.to 2) del post iniziale) è utile (ad esempio usandolo si mostra subito che la norma di un operatore lineare è una norma).
Non c'è una T ma ben due: una è la "derivata" e un'altra è la "valutazione in \( x_0 \)". Sarebbe da dirlo meglio ma sono in treno (e con due valigie che continuano a cadere pure), quindi se non si capisce mi spiego meglio dopo. Ah, occhio che p1 e p2 dovrebbero essere invece "q1" e "q2", seguendo le notazioni del post.
Se non muoio prima dopo vi mostro perché conoscere questo fatto (intendo quello che enuncio nel p.to 2) del post iniziale) è utile (ad esempio usandolo si mostra subito che la norma di un operatore lineare è una norma).
Scusa ma se nel punto 2) non fai alcun riferimento alle somme come puoi sperare di applicarlo nel caso di una somma?Appunto, è questo che non capisco!
Beh, se pensi che l'operatore di derivazione sia iniettivo c'è qualche problema a livello base...
Il punto è che devi definire bene gli spazi di partenza e di arrivo di $T$, per capire chi sono una buona $T$ ed una buona $p$.
Poi devi mostrare che $T$ è iniettiva e che $p$ funziona bene sul range di $T$.
Quindi il problema del calcolo è solo "spostato", non eliminato.
Beh, non è che dimostrarlo mediante definizione sia così sfiancante...
Il punto è che devi definire bene gli spazi di partenza e di arrivo di $T$, per capire chi sono una buona $T$ ed una buona $p$.
Poi devi mostrare che $T$ è iniettiva e che $p$ funziona bene sul range di $T$.
Quindi il problema del calcolo è solo "spostato", non eliminato.
"marco2132k":
Se non muoio prima dopo vi mostro perché conoscere questo fatto (intendo quello che enuncio nel p.to 2) del post iniziale) è utile (ad esempio usandolo si mostra subito che la norma di un operatore lineare è una norma).
Beh, non è che dimostrarlo mediante definizione sia così sfiancante...
E chi ha mai detto che le due T sono iniettive? Quello che ho dimostrato finora è solo che ho due seminorme (e cioè \( f\mapsto \lVert f^\prime\rVert \) e \( f\mapsto \lvert f(x_0)\rvert \) (e, ok, quindi ne ho una terza dato che se le sommo ho ancora una seminorma).
Vediamo se dopo riesco a definire "bene" gli spazi di partenza e di arrivo di T; che questo sia quello che io devo fare è già una risposta...
Vediamo se dopo riesco a definire "bene" gli spazi di partenza e di arrivo di T; che questo sia quello che io devo fare è già una risposta...
Non che sia così sfiancanteAgain, non l'ho inventato io l'esercizio.
Ok, ci ho pensato, ma alla fine ho pensato anche che l'esercizio chiede di far vedere che \( \lVert{-}\rVert_* \) è una seminorma. Forse la richiesta di non far conti era relativa solo a questa parte qui, anche perché far vedere che ||f||_* = 0 se e solo se f=0 è una scemenza.
Vabbuò...
Yep, hai ragione.
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