Somma della serie in funzione di a
Esercizio 4 pagina 54 libro Esercizi di Matematica 1, Salsa - Squellati
Dire per quali valori del parametro $a$ la serie
$\sum_{n=0}^\infty (\frac{2+a}{1-a})^n$
converge e in caso affermativo calcolarne la somma.
Risposta:
è una serie geometrica di ragione $\frac{2+a}{1-a}$, perchè converga occorre che
$|\frac{2+a}{1-a}|<1$
Ciò accade se $a<-\frac{1}{2}$. In questo caso, la somma della serie è $\frac{a-1}{2a+1}$
Mia domanda: da dove esce fuori la somma della serie? Come la si può definire tale, pur non avendo $a$ un valore fissato?
Dire per quali valori del parametro $a$ la serie
$\sum_{n=0}^\infty (\frac{2+a}{1-a})^n$
converge e in caso affermativo calcolarne la somma.
Risposta:
è una serie geometrica di ragione $\frac{2+a}{1-a}$, perchè converga occorre che
$|\frac{2+a}{1-a}|<1$
Ciò accade se $a<-\frac{1}{2}$. In questo caso, la somma della serie è $\frac{a-1}{2a+1}$
Mia domanda: da dove esce fuori la somma della serie? Come la si può definire tale, pur non avendo $a$ un valore fissato?
Risposte
Dovresti sapere che per la serie geometrica si ha
$$\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$$
quando $|q|<1$. Nel tuo caso, hai $q=\frac{2+a}{1-a}$ e, sotto la condizione che $a< -1/2$, puoi calcolare la somma come ho scritto sopra.
$$\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$$
quando $|q|<1$. Nel tuo caso, hai $q=\frac{2+a}{1-a}$ e, sotto la condizione che $a< -1/2$, puoi calcolare la somma come ho scritto sopra.
Giusto, grazie
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