Somma della serie di potenze
Come si fa la somma della serie di potenze?
Ho cercato in giro ma ci sono spiegazioni parecchio contorte...
Ho cercato in giro ma ci sono spiegazioni parecchio contorte...
Risposte
Non si capisce bene che cosa stai chiedendo. Posta un esempio, un esercizio che ne discutiamo.
Ti ricordi la serie di Taylor del logaritmo? In particolare, ti ricordi come si ottiene?
Un hint: vale, per opportuni $x$,
\[
\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}
\]
Sapresti ora adoperare questa informazione per concludere il tuo esercizio?
Un hint: vale, per opportuni $x$,
\[
\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}
\]
Sapresti ora adoperare questa informazione per concludere il tuo esercizio?
Non saprei da dove partire...Non le ho capiti i polinomi di Taylor e Maclaurin
Devo sostituire $log(1 - x)$ a $2^n/n$? moltiplicandolo per quello che c'è in parentesi?
Devo sostituire $log(1 - x)$ a $2^n/n$? moltiplicandolo per quello che c'è in parentesi?
comincia con scrivere la serie cosi: poni per semplicità $y=\frac{2e^x-1}{e^x},$ e ottieni:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{n}\left(\frac{2e^x-1}{e^x}\right)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{n}\cdot y^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2y)^n}{n}; \]
a questo punto dovresti vedere meglio il suggerimento di Paolo90
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{n}\left(\frac{2e^x-1}{e^x}\right)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{n}\cdot y^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(2y)^n}{n}; \]
a questo punto dovresti vedere meglio il suggerimento di Paolo90
Quindi dovrebbe essere $-log(2−y)$? metterci dentro il valore di y?
Ho un problema con un'altra serie.
$\sum_{n=0}^\inftye^-n(x-2)^(2n)$
So che la somma dell'esponenziale è $x^n/(n!)$
Quindi ponendo $y=(x-2)^2$
Mi resta
$\sum_{n=0}^\infty(n!)/x^ny^n$
A questo punto cosa devo fare? Sempre se fin qui è giusto...
$\sum_{n=0}^\inftye^-n(x-2)^(2n)$
So che la somma dell'esponenziale è $x^n/(n!)$
Quindi ponendo $y=(x-2)^2$
Mi resta
$\sum_{n=0}^\infty(n!)/x^ny^n$
A questo punto cosa devo fare? Sempre se fin qui è giusto...
ma se poni $y=(x-2)^2,$ ti resta
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}(x-2)^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^n}{e^{n}} =\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{y}{e}\right)^{n}
\end{align}
che dovresti riconoscere ...
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}(x-2)^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^n}{e^{n}} =\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{y}{e}\right)^{n}
\end{align}
che dovresti riconoscere ...
Dovrebbe essere una serie geometrica, la cui somma dovrebbe essere
$1/(1-x)$ quindi $1/(1-(y/e))$
Quindi sostituisco il valore della y e trovo la somma?
$1/(1-x)$ quindi $1/(1-(y/e))$
Quindi sostituisco il valore della y e trovo la somma?
Procediamo con ordine: data la serie
\begin{align} \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}(x-2)^{2n}, \end{align}
posto per comodità di scrittura $y=(x-2)^2,$ verifichiamo prima di tutto quando risulta convergente, poichè solo in tal caso si può parlare, ed eventualmente calcolare la somma; si ha che
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}(x-2)^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^n}{e^{n}} =\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{y}{e}\right)^{n} ,\end{align}
che essendo una serie geometrica di ragione $y/e$ risulterà convergente quando
\begin{align}
\left| \frac{y}{e}\right|<1\quad &\Leftrightarrow\quad-1<\frac{y}{e} <1\quad \Leftrightarrow\quad-e
Per tali valori quindi la serie risulta convergente, quindi è possibile calcolarne la somma che, essendo una serie geometrica isulta essere pari a:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{y}{e}\right)^{n} =\frac{1}{1-\frac{y}{e}}=\frac{e}{e-(x-2)^2},\quad\mbox{per}\quad 2-e
\begin{align} \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}(x-2)^{2n}, \end{align}
posto per comodità di scrittura $y=(x-2)^2,$ verifichiamo prima di tutto quando risulta convergente, poichè solo in tal caso si può parlare, ed eventualmente calcolare la somma; si ha che
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}(x-2)^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^n}{e^{n}} =\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{y}{e}\right)^{n} ,\end{align}
che essendo una serie geometrica di ragione $y/e$ risulterà convergente quando
\begin{align}
\left| \frac{y}{e}\right|<1\quad &\Leftrightarrow\quad-1<\frac{y}{e} <1\quad \Leftrightarrow\quad-e
Per tali valori quindi la serie risulta convergente, quindi è possibile calcolarne la somma che, essendo una serie geometrica isulta essere pari a:
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{y}{e}\right)^{n} =\frac{1}{1-\frac{y}{e}}=\frac{e}{e-(x-2)^2},\quad\mbox{per}\quad 2-e
Perfetto.
Non avevo scritto queste considerazioni perchè questo era l'ultimo punto dell'esercizio dove si chiedeva il raggio di convergenza, l'insieme di convergenza, la somma della serie e il valore di $f^((10))(2)$ se non ricordo male. Quest'ultimo risolvibile con la formula $10!a_(10)$
Non avevo scritto queste considerazioni perchè questo era l'ultimo punto dell'esercizio dove si chiedeva il raggio di convergenza, l'insieme di convergenza, la somma della serie e il valore di $f^((10))(2)$ se non ricordo male. Quest'ultimo risolvibile con la formula $10!a_(10)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo