Somma della radice di 1/n

[manto51]

Qualcuno sa come si calcola la somma delle radici quadrate dei reciproci dei numeri naturali ?

$x = \sum_(k = 1\ldotsn) 1/sqrt(k)$

Cercando su internet, ho trovato che x è la somma parziale della funzione $\zeta(s)$ di Riemann avente come argomento $s = 1/2$, e che tale somma è approssimata per difetto da $(n^(1-s) -1)/(1-s)$

In questo caso, con s = $1/2$ si avrebbe $x \approx 2*(\sqrt(n) - 1)$

E' corretto, oppure c'è un altro modo ? Grazie per l'aiuto

[silov]

Ciao, interessante il tuo quesito. La funzione ζ(s) di Riemann per s=1/2 , come è noto e ovvio, diverge. Ma una formula per le somme parziali non l'ho davvero mai incontrata..

[gugo82]

@ manto51: Trovare una formula chiusa elementare per le ridotte \(n\)-esime della serie di Riemann non è possibile.

Tuttavia si possono trovare facilmente delle stime di crescita e stime asintotiche per le ridotte... Infatti, dato che la funzione \(1/\sqrt{x}\) è strettamente decrescente e continua, per il TFCI si ha:
\[
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{k}} &= \frac{1}{\sqrt{k}}\ \big( k-(k-1)\big)\\
&= \intop_{k-1}^k \frac{1}{\sqrt{k}}\ \text{d} x\\
&\leq \intop_{k-1}^k \frac{1}{\sqrt{x}}\ \text{d} x\\
&= \left. 2\ \sqrt{x} \right|_{k-1}^k\\
&= 2\ \left( \sqrt{k} - \sqrt{k-1}\right)
\end{split}
\]
per ogni \(k=1,2,\ldots ,n\), quindi:
\[
\tag{1}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \sum_{k=1}^n 2\ \left( \sqrt{k} - \sqrt{k-1} \right) = 2\ \sqrt{n}\; .
\]
Analogamente:
\[
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{k}} &= \frac{1}{\sqrt{k}}\ \big( (k+1)-k\big)\\
&= \intop_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{k}}\ \text{d} x\\
&\geq \intop_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}}\ \text{d} x\\
&= \left. 2\ \sqrt{x}\right|_k^{k+1}\\
&= 2\ \left( \sqrt{k+1} - \sqrt{k}\right)
\end{split}
\]
per \(k=1,2,\ldots, n\), dunque:
\[
\tag{2}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sum_{k=1}^n 2\ \left( \sqrt{k+1} - \sqrt{k}\right) = 2\ \left(\sqrt{n+1} - 1\right)\; .
\]
Mettendo (1) & (2) insieme si ricavano le stime di crescita:
\[
\tag{3}
2\ \left(\sqrt{n+1} - 1\right)\leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\leq 2\ \sqrt{n}\; ,
\]
dalle quali segue:
\[
\frac{\sqrt{n+1} - 1}{\sqrt{n}}\leq \frac{1}{2\ \sqrt{n}}\ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\leq 1\; ;
\]
usando il teorema dei carabinieri, dalla precedente catena di disuguaglianze discende:
\[
\lim_n \frac{1}{2\ \sqrt{n}}\ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1
\]
ossia la stima asintotica:
\[
\tag{4}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 2\ \sqrt{n}\ \big( 1 + \text{o}(1)\big)
\]
o equivalentemente \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \sim 2\ \sqrt{n}\).

La stessa tecnica si può usare per guadagnare stime di crescita ed asintotiche per \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s}\) con \(0

[manto51]

Ringrazio per la risposta, chiara ed esauriente. Confesso che ho dovuto ripassare i rudimenti del calcolo integrale, ma per mia carenza, non perché la risposta non fosse chiara