Soluzioni 'strane' max e min relativi

[ludwigZero]

Ho qualche dubbio per la risoluzione dei max e min relativi di questa funzione a due variabili:

$(3-x)(3-y)(x+y-3)$

$f_x = 18 - 9y - 6x + 2xy + y^2 = 0$

$f_y = 18 -9x -6y + x^2 + 2xy =0$


$18 - 9y - 6x + 2xy + y^2 = 18 -9x -6y + x^2 + 2xy$

riducendosi a:

$y^2 - 3 y = x^2 - 3 y$

primo e secondo membro sono uguali quando $x=y$ e per $y=3$ e $x=3$

il mio dubbio è questo: è possibile che mi possa uscire una coppia del tipo $(x,x)$ (senza il 'numero') ? ad esempio, $(0,0)$ non andrebbe bene perchè non annulla il gradiente... a quanto pare è solo la coppia $(3,3)$

datemi conferma se potete grazie come sempre.

[theras]

Beh,ad occhio
(ma pure in seguito un raccoglimento parziale a fattor comune successivo alla sottrazione membro a membro )
c'è pure (2,2):
e non solo,magari..
Posti i passaggi algebrici che hai fatto per risolvere quel sistemino?
Saluti dal web.

[ludwigZero]

la funzione l'ho riscritta in modo esteso:
$f(x,y) = 18 x + 18 y - 27 - 9 xy - 3 y^2 - 3 x^2 + x^2 y + x y^2$

$f_x = 18 - 9 y - 6 x + 2xy + y^2 = 0$

$f_y = 18 - 9x -6y + x^2 + 2xy = 0$

ho eguagliato $f_x = f_y$

semplificando qualcosa viene:
$-9 y - 6x + y^2 = -9x -6y +x^2$

ho notato ad occhio che:
primo e secondo membro si eguagliano per $x=y$ (come dice anche wolfram) e si annullano simultaneamente per $(3,3)$ e $(0,0)$ ma $(0,0)$ è una coppia che non annulla il gradiente ....
anche $(2,2)$ va bene (ma non so vedere tutti i punti 'ad occhio...')
raggruppando qualcosa in $f_x$ ottengo:

$2x (-3 +y) + y^2 - 9y + 18 = 0$
che per $(x,3)$ va bene e dato che la $f_y$ è simmetrica, vanno bene le coppie $(3,y)$ il che mi porta di nuovo a dire che $(3,3)$ va bene...ma non so la tua coppia ocme hai fatto a ricavarla xD

quando faccio l'hessiamo con $(3,3)$ mi trovo:
$f_(xx) = 0$ e $f_(yy) = 0$ con $H<0$
che caso sarebbe questo? :S

[theras]

Mica è saltata fuori dal cilindro;
come ti dicevo le uniche cose che riesco ancora(per poco,dato che l'età incombe )a fare ad occhio sono,
nell'ordine,una sottrazione membro a membro
(e quì ci sei quasi..),
una decomposizione di differenza di quadrati,un raccoglimento parziale a fattor comune,
applicare la legge d'annullamento del prodotto e sostituire le equazioni esplicite che ne saltan fuori
(tra l'altro una era oltre le mie capacità di far semplificazioni a mente,e te l'ho lasciata volentieri..):
tutte cose delle quali,
fin quando l'istituzione Scuola Media Superiore era un fiore all'occhiello del sistema didattico italiano,
si parlava tra il I°ed il II° Quadrimestre dell'ultimo anno del Biennio come potenziali "armi" per risolvere sistemi algebrici
( ,anche se non è un attacco a te..)!
Per l'ultimo quesito volevo chiederti di postare i tuoi appunti sintetici sulle condizioni del secondo ordine:
ho il dubbio che li hai presi male,o che stai confondendo due casi..
Saluti dal web.

[ludwigZero]

ho fatto anche il caso del sottrarre membro a membro .... non è che forse dovrei provare con:

$y^2 - 3 y - x^2 + 3x : (y-3)$ ? può essere che mi esce $(x-2)$ o $(y-2)$ .....

++postare i tuoi appunti sintetici sulle condizioni del secondo ordine:

punti critici:
$f_x (x_0 ,y_0) = 0$
$f_y (x_0 ,y_0) = 0$

hessiano:
$f_x (x_0 ,y_0) = f_y (x_0 ,y_0) = 0$
$H(x_0, y_0) > 0$ , $f_(xx) (x_0 ,y_0) > 0$ min relativo

se
$f_x (x_0 ,y_0) = f_y (x_0 ,y_0) = 0$
$H(x_0, y_0) > 0$ , $f_(xx) (x_0 ,y_0) < 0$ max relativo

e $H(x_0, y_0) <0$ il punto è di sella *_* che stupidata che ho detto prima.

fatto sta che non riesco a trovare il punto $(2,2)$ U.U

[theras]

Guarda che t'ho pure suggerito di decomporre $y^2-x^2$:
d'altronde una giustificazione formale dovra pur esserci per ciò di cui ti sei accorto quando,grosso modo,
hai scritto "primo e secondo membro s'uguagliano per x=y"..
Saluti dal web.

[Gi81]

$y^2 - 3 y = x^2 - 3x <=>$
$ (y-3/2)^2-9/4 = (x-3/2)^2-9/4 <=> (y-3/2)^2 = (x-3/2)^2 <=> |y-3/2| = |x-3/2|$

Ora, $|A|=|B|<=> A=B vv A= -B$, dunque abbiamo $y-3/2 = x-3/2 vv y-3/2 = -x+3/2$, cioè \[y=x \vee y= -x+3\]

Ora, siccome deve valere anche $18 - 9y - 6x + 2xy + y^2 = 0$, mettiamolo a sistema con quanto appena trovato:

${(y=x),(18 - 9y - 6x + 2xy + y^2 = 0):} vv{(y= -x+3),(18 - 9y - 6x + 2xy + y^2 = 0):}$ che diventa

${(y=x),(18 - 15x + 3x^2 = 0):} vv{(x= -y+3),(18 - 9y - 6(3-y) + 2y(3-y) + y^2 = 0):}$

Nel primo sistema abbiamo $3(x^2-5x +6)=0 <=> 3(x-2)(x+3)=0$
Nel secondo si ha $-y^2 +3y=0$

Dunque ci sono quattro soluzioni: $(2,2)$, $(3,3)$, $(3,0)$ e $(0,3)$.

[ludwigZero]

*_* cioè intuitivamente (tranne per $(2,2)$ ) c'ero, ma il primo passaggio che fai cioè:
$(y-3/2)^2 - 9/4 = (x -3/2)^2 - 9/4$
non capisco come tu abbia potuto tirarla fuori....
mi insegni questo trucchetto di artificio matematico?

[Gi81]

Pima di tutto: che cosa volevo fare?
Volevo passare da una formula che conteneva $y^2+3y$, molto scomodo da gestire,
ad un'altra che avesse solo qualcosa con $y$ (senza $y^2$).

Cosa ho sfruttato? Il metodo del completamento del quadrato. Ho aggiunto e sommato un termine (cioè $9/4$)
in modo da far risultare $(y-3/2)^2$. In questo modo si arriva, tramite semplificazioni successive, a quello che ho scritto.

Spero di aver reso l'idea.

[ludwigZero]

*_* il metodo del completamento del quadrato! non ricordavo come si chiamasse, lo si usava molto ricordo per le ellissi o comunque cose geometriche, esercizi da liceo. :/

Vorrei completare l'esercizio, determinando se i punti sono di max, min o di sella (semmai dovesse risultare utile a qualche utente):

$(d^2 f)/dx^2 = -6 + 2y$
$(d^2 f)/dy^2 = -6 + 2x$

$d/dy (df/dx) = - 9 +2x +2y$
$d/dx (df/dy) = -9 +2x +2y$

$H(2,2) = 3 > 0$
e $f_(xx) <0$ è di max relativo

$H(3,0) = ((-6,-3),(-3,0)) = -9<0$ punto di sella

$H(0,3) = ((0,-3),(-3,-6)) = -9<0$ di sella

$H(3,3)$ di sella