Soluzioni reali di equazione

[anymore87]

Salve ragazzi!!Mi sono imbattuto in questo esercizio e non riesco a trovare la soluzione.Verificare che questa equazione ha due soluzioni reali:
$sqrt(x^2-1)=log(1/(x^2-1))$. Io ho fatto per prima cosa $sqrt(x^2-1)=log(1)-log(x^2-1)$ quindi $sqrt(x^2-1)=-log(x^2-1)$ e poi mi blocco...accetto qualsiasi tipo di suggerimento:)grazie tante

[egregio]

Pensa la radice come 1/2

[anymore87]

posso per caso dire che per x>1 l equazione ha due radici?

[Zkeggia]

il suggerimento è: Studia la funzione $f(x) = sqrt(y) + lny$.
Uno zero di questa funzione è in corrispondenza con una soluzione dell'equazione $sqrty = -ln y$ e da qui, ponendo $y = x^2-1$...

[anymore87]

scusate ragazzi ma non ci arrivo proprio... se a questo $sqrty = -ln y$ sostituisco $y = x^2-1$ non ritrovo la funzione precedente??

[Zkeggia]

sì ma quello che ti dicevo era per semplificarti la vita:
La funzione $sqrty +lny$ è tutto sommato facile da studiare. Se fai delle verifiche agli estremi scopri che, per il teorema di Weistrass esiste un punto $a$ tale che $f(a) = 0$ Questo significa che l'equazione $sqrty = -lny$ è verificata per questo a, che sarà tra l'altro contenuto in un intervallo... ora se $y = x^2 -1$ per ogni valore di y positivo ce ne saranno due da associare a x, che saranno $+sqrt (y+1)$ e $-sqrt(y+1)$. Devi verificare soltanto che questi due valori siano nel campo di esistenza della equazione di partenza, ovvero $x>1 U x<-1$