Soluzioni radiali Laplace
Ciao a tutti, il professore ci ha lasciato da approfondire le funzioni radiali. In particolare un esercizio chiede di determinare le soluzioni radiali dell'equazione di Laplace: $nabla^2u(x,y)=3sqrt(x^2+y^2)$ nel dominio $R^2$ con $(x,y)!=(0,0)$
Avendo posto $u(x,y)=f(rho)$ dove $rho=sqrt(x^2+y^2)$ dovrei arrivare a risolvere l'equazione $f''(rho)+(f'(rho))/rho=3rho$ che risulta $f(rho)=rho^3/3+c_1*ln(rho)+c_2$.
A questo punto mi chiede di individuare le soluzioni tali per cui $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}(u(x,y))/[(x^2+y^2)^(3/2)]=1/3$ che io posso riscrivere come $\lim_{rho \to \0}(f(rho))/(rho^3)=1/3$ ma questo come faccio a risolverlo? Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua o effettivamente c'è qualcosa che non va?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
edit: ah beh, effettivamente mi sa che mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua, basterebbe porre $c_1=0$ e $c_2=0$ giusto?
Avendo posto $u(x,y)=f(rho)$ dove $rho=sqrt(x^2+y^2)$ dovrei arrivare a risolvere l'equazione $f''(rho)+(f'(rho))/rho=3rho$ che risulta $f(rho)=rho^3/3+c_1*ln(rho)+c_2$.
A questo punto mi chiede di individuare le soluzioni tali per cui $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}(u(x,y))/[(x^2+y^2)^(3/2)]=1/3$ che io posso riscrivere come $\lim_{rho \to \0}(f(rho))/(rho^3)=1/3$ ma questo come faccio a risolverlo? Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua o effettivamente c'è qualcosa che non va?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
edit: ah beh, effettivamente mi sa che mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua, basterebbe porre $c_1=0$ e $c_2=0$ giusto?
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