Soluzioni problema cauchy
ciao a tutti,
mi trovo in difficoltà con questi problemi non tanto per la risoluzione, ma a causa della soluzione.Cioè il quesito mi chiede di trovarmi il più ampio intervallo in cui sono definite le soluzioni.
Qui sta il mio problema, infatti ad esempio se ho un problema del genere:
$\{(y'=sqrt((1-y^2)/(x+1))), (y(1)=1/2) :}$
vado a risolvere la disequazione che è a var. separabili e trovo che le soluzioni di prima categoria sono $y(x)=+-1$
ora calcolo le soluzioni di seconda categoria e mi trovo che $arcsin y=log(x+1) + c$
adesso in alcuni esercizi che ho svolti e che chiedono di trovare il più ampio intervallo delle soluzioni fanno una disequazione in base alle soluzioni di prima categoria.
Ad esempio in questo caso poichè $y(x)=+-1$ allora si imposta che $-11$ ad esempio??
grazie!:)
mi trovo in difficoltà con questi problemi non tanto per la risoluzione, ma a causa della soluzione.Cioè il quesito mi chiede di trovarmi il più ampio intervallo in cui sono definite le soluzioni.
Qui sta il mio problema, infatti ad esempio se ho un problema del genere:
$\{(y'=sqrt((1-y^2)/(x+1))), (y(1)=1/2) :}$
vado a risolvere la disequazione che è a var. separabili e trovo che le soluzioni di prima categoria sono $y(x)=+-1$
ora calcolo le soluzioni di seconda categoria e mi trovo che $arcsin y=log(x+1) + c$
adesso in alcuni esercizi che ho svolti e che chiedono di trovare il più ampio intervallo delle soluzioni fanno una disequazione in base alle soluzioni di prima categoria.
Ad esempio in questo caso poichè $y(x)=+-1$ allora si imposta che $-1
grazie!:)
Risposte
Una osservazione: le soluzioni di "prima categoria" (ma non si chiamavano integrali particolari? Mah, più passa il tempo, più la gente rinomina a kaiser le cose!) che hai trovato in questo caso non vanno bene. Perché?
Detto questo, per trovare l'intervallo di massima definizione (al variare del parametro $c$), dovrai imporre $x> -1$ (affinché sia definito il logaritmo) e nient'altro: infatti la tua soluzione si riscrive, in forma esplicita, come [tex]$y(x)=\sin\left[\log(x+1)+c\right]$[/tex] la quale è definita per [tex]$x\in(-1,+\ifnty)$[/tex] ed assume valori in [tex]$[-1,1]$[/tex] (che rappresenta l'intervallo immagine della funzione seno).
P.S.: ovviamente il valore della costante $c$ in questo caso è bene determinato e vale...
Detto questo, per trovare l'intervallo di massima definizione (al variare del parametro $c$), dovrai imporre $x> -1$ (affinché sia definito il logaritmo) e nient'altro: infatti la tua soluzione si riscrive, in forma esplicita, come [tex]$y(x)=\sin\left[\log(x+1)+c\right]$[/tex] la quale è definita per [tex]$x\in(-1,+\ifnty)$[/tex] ed assume valori in [tex]$[-1,1]$[/tex] (che rappresenta l'intervallo immagine della funzione seno).
P.S.: ovviamente il valore della costante $c$ in questo caso è bene determinato e vale...
non so dirti il perchè ma il mio prof li chiama in questo modo le soluzioni 
scusami ma sapendo che $b(y)=sqrt(1-y^2)$ le soluzioni non si trovano ponendo $b(y)=0$ ?
adesso il tuo ragionamento l'ho capito in parte, cioè per trovarmi l'intervallo di max definizione mi basta calcolare il dominio della soluzione che in questo caso è dato da $x>1$ però nell'esercizio svolto che ho in pratica la soluzione è come la tua ma definita per x $[e^(-pi/2-c)-1,e^(pi/2-c)+1]
grazie
scusami ma sapendo che $b(y)=sqrt(1-y^2)$ le soluzioni non si trovano ponendo $b(y)=0$ ?
adesso il tuo ragionamento l'ho capito in parte, cioè per trovarmi l'intervallo di max definizione mi basta calcolare il dominio della soluzione che in questo caso è dato da $x>1$ però nell'esercizio svolto che ho in pratica la soluzione è come la tua ma definita per x $[e^(-pi/2-c)-1,e^(pi/2-c)+1]
grazie
Per l'intervallo: prova a vedere cosa succede se provi a porre [tex]$-\frac{\pi}{2}\leq \arcsin y\leq\frac{\pi}{2}$[/tex] e sostituire all'arcoseno la funzione [tex]$\log(x+1)+c$[/tex].
per la cosa sugli integrali particolari: devi risolvere un problema di Cauchy, per cui [tex]$y(1)=1/2$[/tex]. A te pare che[tex]$y(x)=\pm 1$[/tex] soddisfino questa condizione?
per la cosa sugli integrali particolari: devi risolvere un problema di Cauchy, per cui [tex]$y(1)=1/2$[/tex]. A te pare che[tex]$y(x)=\pm 1$[/tex] soddisfino questa condizione?
perfetto, quindi se non sbaglio per trovarmi alla fine questo intervallo mi basta calcolare il dominio di questa equazione $arcseny=log(x+1)+c$ giusto?
per l'integrale particolare, per essere soluzione dovevo avere che $y(x)=1/2$ giusto?
grazie
per l'integrale particolare, per essere soluzione dovevo avere che $y(x)=1/2$ giusto?
grazie
Esatto a tutte e due.
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