Soluzioni particolari di un'equazione differenziale.
Ciao a tutti. Ho qualche problema a trovare le soluzioni particolari delle equazioni differenziali lineari di primo ordine. Posso chiedervi di controllare se questi due esercizi che ho fatto sono giusti? Ho seguito la formula che c'è sul libro ma non sono certa che sia giusta.
$ y'+xy-x=0 => y'+xy=x $
$ y=ce^(-x^2/2)+e^(-x^2/2)int (xe^(-x^2/2)dx) = ce^(-x^2/2)+(e^(-x^2/2))(e^(-x^2/2))= ce^(-x^2/2)+e^(-x^2) $
$ y'+ycotanx-2cosx=0 => y'+ycotanx=2cosx $
$ y=ce^(-log(sin(x))+e^(log(sin(x)))int (2cos(x)e^(-log(sin(x)))dx) = ce^(-log(sin(x)))+(e^(log(sin(x))))(2log(sin(x ) ) $
Sono corretti? Se lo sono, come possono essere una soluzione particolare, visto che rimane quella $c$? Se no potete correggerli e spiegarmi dove sbaglio e come devo ragionare, per favore?
$ y'+xy-x=0 => y'+xy=x $
$ y=ce^(-x^2/2)+e^(-x^2/2)int (xe^(-x^2/2)dx) = ce^(-x^2/2)+(e^(-x^2/2))(e^(-x^2/2))= ce^(-x^2/2)+e^(-x^2) $
$ y'+ycotanx-2cosx=0 => y'+ycotanx=2cosx $
$ y=ce^(-log(sin(x))+e^(log(sin(x)))int (2cos(x)e^(-log(sin(x)))dx) = ce^(-log(sin(x)))+(e^(log(sin(x))))(2log(sin(x ) ) $
Sono corretti? Se lo sono, come possono essere una soluzione particolare, visto che rimane quella $c$? Se no potete correggerli e spiegarmi dove sbaglio e come devo ragionare, per favore?
Risposte
Ciao
Relativamente alle soluzioni da te trovate ti consiglierei di ricontrollare la formula che hai utilizzato.
Per il primo esercizio mi risulta come soluzione $y(x)=Ke^(-x^2/2)+1$.
Per la seconda prova a rifare i conti e soprattutto nota che $e^(log(sin(x)))=sin(x)$, in questo modo "allegerisci" la notazione.
Relativamente alle soluzioni da te trovate ti consiglierei di ricontrollare la formula che hai utilizzato.
Per il primo esercizio mi risulta come soluzione $y(x)=Ke^(-x^2/2)+1$.
Per la seconda prova a rifare i conti e soprattutto nota che $e^(log(sin(x)))=sin(x)$, in questo modo "allegerisci" la notazione.
La formula che ho usato è la seguente. Data un'equazione del tipo $y'(t)+a(t)y(t)=f(t)$ la sua soluzione particolare è $y(t)=ce^(-A(t))+e^(-A(t))int f(t)e^(A(t))dt $ dove $A(t)=int a(t)dt$.
Hai ragione, ho fatto un errore perché nell'integrale ho fatto $e^(-A(t))$ invece di $e^(A(t))$. Quindi nel primo viene il risultato che hai detto tu. Grazie per il suggerimento nella seconda.
Scusa, qui c'è un errore di scrittura:
$ y=ce^(-log(sin(x)))+e^(log(sin(x)))int (2cos(x)e^(-log(sin(x)))dx)$.
A parte quetso è giusto?
Hai ragione, ho fatto un errore perché nell'integrale ho fatto $e^(-A(t))$ invece di $e^(A(t))$. Quindi nel primo viene il risultato che hai detto tu. Grazie per il suggerimento nella seconda.
"Vegastar":
$ y'+ycotanx-2cosx=0 => y'+ycotanx=2cosx $
$ y=ce^(-log(sin(x))+e^(log(sin(x)))int (2cos(x)e^(-log(sin(x)))dx) = ce^(-log(sin(x)))+(e^(log(sin(x))))(2log(sin(x ) ) $
Scusa, qui c'è un errore di scrittura:
$ y=ce^(-log(sin(x)))+e^(log(sin(x)))int (2cos(x)e^(-log(sin(x)))dx)$.
A parte quetso è giusto?
Posso chiederti ancora una cosa? Come ci si comporta quando si trova una forma del genere?
$e^(x+y)y'+x=0$
Ho pensato di fare così:
$e^(x+y)y'+x=0 => y'e^y=-x/e^x => ylogy'=log(-x)/x$
Da cui: $y(x)=1+int(log(-x)/x)dx => y(x)=1+1/2log^2(-x)
Però non credo che sia giusto... Che ne pensi?
$e^(x+y)y'+x=0$
Ho pensato di fare così:
$e^(x+y)y'+x=0 => y'e^y=-x/e^x => ylogy'=log(-x)/x$
Da cui: $y(x)=1+int(log(-x)/x)dx => y(x)=1+1/2log^2(-x)
Però non credo che sia giusto... Che ne pensi?
Questa equazione è a variabili separabili!
Che sciocca, è vero! Scusate!
Di nulla! 
Posso chiedere ancora una cosa? Se si trova $y^2$ cosa si deve fare? Ragionare allo stesso modo e poi mettere sotto radice il risultato? In questo caso:
$y'+2xy^2=0$
$y'+2xy^2=0$
La mia risposta risolutiva non cambia: tale è un'equazione a variabili separabili! 
Sì, l'avevo notato. Solo che era in un problema di Cauchy e il libro non riportava la spiegazione. Ho dovuto cercare più avanti Grazie ancora.
Grazie ancora.
Attenzione al dato iniziale allora!
Ciao! Ho trovato un'altra equazione che mi dà problemi.
$ u''-2u'+u=2e^xcos3x $
la soluzione generale della omogenea associata è $ u(x)=e^(-x)(c_1+c_2x) $ quindi ottengo $ u(x)=e^(-x)(c_1(x)+c_2(x)x) $ . E pongo la condizione $ e^(-x)(c_1'(x)+c_2'(x)x)=0 $
E ora che faccio? Non sono neanche sicura di aver capito correttamente il metodo di calcolo delle differenziali di 2° grado non omogenee. Per favore, aiutatemi ancora.
$ u''-2u'+u=2e^xcos3x $
la soluzione generale della omogenea associata è $ u(x)=e^(-x)(c_1+c_2x) $ quindi ottengo $ u(x)=e^(-x)(c_1(x)+c_2(x)x) $ . E pongo la condizione $ e^(-x)(c_1'(x)+c_2'(x)x)=0 $
E ora che faccio? Non sono neanche sicura di aver capito correttamente il metodo di calcolo delle differenziali di 2° grado non omogenee. Per favore, aiutatemi ancora.
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