Soluzioni massimali
Ho un dubbio sul seguente esercizio: discutere l'esistenza di soluzioni massimali per l'equazione differenziale scalare $y'(t)=sqrt(|y(t)|)$. Prima di tutto, ho analizzato la funzione $f(t,y)=sqrt(|y|)$, osservando che ha come dominio tutto $RR$ e che è ovunque continua, ma non lipschitziana in un intorno dell'origine. Quindi le soluzioni massimali sono uniche per ogni $y$ non nullo (mentre esistono ovunque).
Ora viene il bello (
): quello che appena detto implica che i problemi di Cauchy del tipo
${(y'(t)=sqrt(|y(t)|)),(y(t_0)=0):}$
al variare di $t_0$ in $RR$ ammettono diverse soluzioni massimali?
EDIT: mi spiego meglio: le soluzioni massimali esistono ovunque, ma c'è unicità solo all'infuori dell'asse $y=0$ (ovviamente ragiono nel piano $Oty$).
Ora viene il bello (
): quello che appena detto implica che i problemi di Cauchy del tipo${(y'(t)=sqrt(|y(t)|)),(y(t_0)=0):}$
al variare di $t_0$ in $RR$ ammettono diverse soluzioni massimali?
EDIT: mi spiego meglio: le soluzioni massimali esistono ovunque, ma c'è unicità solo all'infuori dell'asse $y=0$ (ovviamente ragiono nel piano $Oty$).
Risposte
Il ben noto 
fenomeno di Peano, che si presenta quando manca la lipschizianita'
fenomeno di Peano, che si presenta quando manca la lipschizianita'
[/OT]
Allora erano i miei appunti sbagliati. Per questo odio studiare senza dispense di supporto
[OT]
Grazie della conferma
Allora erano i miei appunti sbagliati. Per questo odio studiare senza dispense di supporto
[OT]
Grazie della conferma
Posto qua per non aprire un nuovo 3d.
Consideriamo l'equazione differenziale scalare $y'(t)=[y(t)]^2$: discutiamo l'esistenza e l'unicità di soluzioni massimali.
La funzione $f(t,y)=y^2$ è continua e localmente lipschitziana, per ogni $(y_0,t_0)$, il relativo problema di Cauchy dato da $y(t_0)=y_0$ ammette un'unica soluzione massimale. Sbaglio?
Consideriamo l'equazione differenziale scalare $y'(t)=[y(t)]^2$: discutiamo l'esistenza e l'unicità di soluzioni massimali.
La funzione $f(t,y)=y^2$ è continua e localmente lipschitziana, per ogni $(y_0,t_0)$, il relativo problema di Cauchy dato da $y(t_0)=y_0$ ammette un'unica soluzione massimale. Sbaglio?
corretto
aggiungo, non richiesto, che la soluzione massimale non sarà definita su tutto $RR$, tranne che per il caso in cui il valore iniziale sia 0
aggiungo, non richiesto, che la soluzione massimale non sarà definita su tutto $RR$, tranne che per il caso in cui il valore iniziale sia 0
Ti ringrazio per la risposta.
Ti chiedo un'altra cosa: come sei giunto alla conclusione che l'unica soluzione massimale definita su tutto $RR$ è quella passante per l'origine? L'hai risolta esplicitamente o hai usato qualche teorema che mi sfugge?
Ti chiedo un'altra cosa: come sei giunto alla conclusione che l'unica soluzione massimale definita su tutto $RR$ è quella passante per l'origine? L'hai risolta esplicitamente o hai usato qualche teorema che mi sfugge?
"matths87":
Ti chiedo un'altra cosa: come sei giunto alla conclusione che l'unica soluzione massimale definita su tutto $RR$ è quella passante per l'origine? L'hai risolta esplicitamente o hai usato qualche teorema che mi sfugge?
Diciamo la prima alternativa.
Anche se non ho fatto conti, ma l'ho imparata a memoria
Nel senso che questo, assieme a $y' = 1+y^2$ è uno degli esempi classici di equazione per cui si ha il fenomeno della esplosione in tempo finito.
Infatti è proprio in quel contesto che è uscita la mia equazione differenziale, mentre $y'=1+y^2$ mi mancava.
Grazie ancora per la dritta.
Grazie ancora per la dritta.
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