Soluzioni indipendenti di un equazione differenziale
Salve ho questa equazione differenziale:
$y^(1306)(x)=2^(1306) y(x)$ (Scritta in quel modo è la derivata milletrecentosei... che fantasia...)
L'esercizio mi chiede due cose:
1)Trovare due soluzioni linearmente indipendenti
2) Trovare una soluzione che soddisfi le condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=1$
1) Allora non mi è mai stata data la definizione di soluzione linearmente indipendente di un equzione differenzia, ma cmq le soluzioni so che sono uno spazio vettoriale quindi credo che sia collegato a quello...Anche se mi faste un favore a darmi una buona definizione. Cmq per il primo punto ci ho pensato un pò e le ho trovate, ad esempio vanno bene $y(x)=e^(2x)$ e $y(x)=e^(2x)+x$ avevo pensato anche alla soluzione nulla ma quella è soluzione ma non è indipendente dalle altre due, giusto?
2) Credo che vada bene $y(x)=e^(2x)-x-1$.
Aspetto conferme smentite e eventualmente insulti
$y^(1306)(x)=2^(1306) y(x)$ (Scritta in quel modo è la derivata milletrecentosei... che fantasia...)
L'esercizio mi chiede due cose:
1)Trovare due soluzioni linearmente indipendenti
2) Trovare una soluzione che soddisfi le condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=1$
1) Allora non mi è mai stata data la definizione di soluzione linearmente indipendente di un equzione differenzia, ma cmq le soluzioni so che sono uno spazio vettoriale quindi credo che sia collegato a quello...Anche se mi faste un favore a darmi una buona definizione. Cmq per il primo punto ci ho pensato un pò e le ho trovate, ad esempio vanno bene $y(x)=e^(2x)$ e $y(x)=e^(2x)+x$ avevo pensato anche alla soluzione nulla ma quella è soluzione ma non è indipendente dalle altre due, giusto?
2) Credo che vada bene $y(x)=e^(2x)-x-1$.
Aspetto conferme smentite e eventualmente insulti
Risposte
"Linearmente indipendenti" lo sai che significa. Si intende, naturalmente, l'indipendenza lineare rispetto alle operazioni
$(f+g)(x)=f(x)+g(x), quad (lambdaf)(x)=lambdaf(x)$.
La funzione identicamente nulla quindi non è linearmente indipendente nemmeno da sola. No? E' così in tutti gli spazi vettoriali: l'origine $o$ non è linearmente indipendente perché $1*o=o$.
Le due soluzioni poi vanno bene, ma devi dimostrare che sono linearmente indipendenti. Il punto due invece è giusto così com'è.
$(f+g)(x)=f(x)+g(x), quad (lambdaf)(x)=lambdaf(x)$.
La funzione identicamente nulla quindi non è linearmente indipendente nemmeno da sola. No? E' così in tutti gli spazi vettoriali: l'origine $o$ non è linearmente indipendente perché $1*o=o$.
Le due soluzioni poi vanno bene, ma devi dimostrare che sono linearmente indipendenti. Il punto due invece è giusto così com'è.
Sarà una delle mie solite sviste, ma credo che nè $y(x)=e^(2x)+x$ nè $y(x)=e^(2x)-x-1$
siano soluzioni dell'equazione differenziale proposta
siano soluzioni dell'equazione differenziale proposta
@squalllionheart: Ovvio che la funzione [tex]$e^{2x}+x$[/tex] non è soluzione, dato che l'equazione è lineare ed [tex]$y(x)=x$[/tex] non la risolve.
Pensa un attimo alla EDO [tex]$y^{\prime \prime}=2^2 y$[/tex]: quali sono due soluzioni indipendenti?
E non è che vanno bene pure nel tuo caso?
Pensa un attimo alla EDO [tex]$y^{\prime \prime}=2^2 y$[/tex]: quali sono due soluzioni indipendenti?
E non è che vanno bene pure nel tuo caso?
"dissonance":E no, hanno ragione Gi8 e Gugo: questa cosa che ho scritto sopra è una strunzata. Scusa. Mannaggia, ci sono giorni in cui sono proprio distratto di brutto.
Le due soluzioni poi vanno bene, ma devi dimostrare che sono linearmente indipendenti. Il punto due invece è giusto così com'è.
scusate ma... come la trovo una seconda linearmente indipendente?
Ma seguire il mio consiglio, no? 
E poi, d'altra parte, il polinomio caratteristico della EDO proposta ha due radici semplici semplici da calcolare...
E poi, d'altra parte, il polinomio caratteristico della EDO proposta ha due radici semplici semplici da calcolare...
"gugo82":
Ma seguire il mio consiglio, no?
E poi, d'altra parte, il polinomio caratteristico della EDO proposta ha due radici semplici semplici da calcolare...
Gugo amico mio, non ho capito come dici di fare, considerare il polinomio caratteristico dell'equazione? Mai fatta questa cosa...nel senso fatta solo per equazioni di grado 2.
Il consiglio di gugo parlava proprio di una EDO del secondo ordine
"gugo82":
Pensa un attimo alla EDO [tex]$y^{\prime \prime}=2^2 y$[/tex]: quali sono due soluzioni indipendenti?
E non è che vanno bene pure nel tuo caso?
$+-2$, come faccio? Lo uso lo per le stesse ragioni?
@squall: Ecco cosa succede a focalizzare i testi universitari sulle EDO del secondo ordine...
Il polinomio caratteristico è definibile e definito per tutte le EDO lineare a coefficienti costanti, non importa di che ordine esse siano; e le radici di tale polinomio hanno la stessa importanza e rivestono lo stesso ruolo per tutte le EDO (non solo per quelle d'ordine [tex]$\leq 2$[/tex]).
Ripassati un po' di teoria generale delle EDO lineari.
Il polinomio caratteristico è definibile e definito per tutte le EDO lineare a coefficienti costanti, non importa di che ordine esse siano; e le radici di tale polinomio hanno la stessa importanza e rivestono lo stesso ruolo per tutte le EDO (non solo per quelle d'ordine [tex]$\leq 2$[/tex]).
Ripassati un po' di teoria generale delle EDO lineari.
Gugo non ci è stato mai detto, buon anima del mio proff non aveva mai detto ciò... cmq ora ci penso e vi aggiorno... Se sbaglio mi corregerete ;p
Pagani salsa dice quello che dici tu, allora le due radici REALI SONO $-2$ CON molteplicità $1$ e $2$ semple con molteplicità $1$ associo due funzioni a queste radici che sono $e^(-2x)$ e $e^(2x)$ a questo punto le altre 1304 radici sono complesse e non saprei come beccarle, l'equazione p omogenea quindi dovrebbe essere:
$y(x)=c_1 e^(-2x)+c_2e^(2x)$ giusto?
Grazie ho imparato a risolverle grazie a voi ho imparato a risolvere un'altra categoria di equazioni.
$y(x)=c_1 e^(-2x)+c_2e^(2x)$ giusto?
Grazie ho imparato a risolverle grazie a voi ho imparato a risolvere un'altra categoria di equazioni.
Il polinomio caratteristico della EDO proposta è [tex]$\lambda^{1306}-2^{1306}$[/tex], che si fattorizza come differenza di quadrati [tex]$(\lambda^{653}-2^{653})(\lambda^{653}+2^{653})$[/tex]; da ciò si trae facilmente che [tex]$\pm 2$[/tex] sono radici del polinomio caratteristico. Le altre radici sono complesse coniugate, quindi le rimanenti soluzioni sono del tipo seno/coseno.
ok la prima parte è come la pensavo io io le altre 1304 termini non saprei scriverli quelli in seno e coseno... Potresti dare un occhiatina qui Gugo https://www.matematicamente.it/forum/equ ... 78250.html non so come procedere... Grazie ancora
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