Soluzioni equazione su un piano nello spazio
Ciao a tutti,
vorrei chiedere un hint su questo esercizio, o come approcciarlo perché non ho nessuna idea su come iniziare
Dimostra che se \( \mathbf{x}(t) \) è una funzione di classe \( \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^3 \setminus \{ \mathbf{0} \}) \) e soddisfa il sistema seguente
\[ \ddot{\mathbf{x}}(t) = - Gm \frac{\mathbf{x}(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3} \]
allora esiste un piano \( \mathbf{E} \subset \mathbb{R}^3 \) tale che \( \mathbf{x}(t) \in \mathbf{E} \) per tutti i \( t \in \mathbb{R} \).
Per risolverlo mi ispirerei ad un problema simile che abbiamo visto in corso la cui unica differenza è che \( \mathbf{x}(t) \) è una funzione di classe \( \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}) \). E quindi in maniera analoga ho posto:
\[ \mathbf{y}(t)= \begin{pmatrix}
y_1(t)\\
y_2(t)\\
y_3(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\dot{x}_1(t)\\
\dot{x}_2(t)\\
\dot{x}_3(t)
\end{pmatrix}=\dot{\mathbf{x}}(t) \]
e pongo \( c= -Gm \), e dunque
\[
\begin{pmatrix}
\dot{y}_1(t)\\
\dot{y}_2(t)\\
\dot{y}_3(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
c\frac{x_1(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3}\\
c\frac{x_2(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3}\\
c\frac{x_3(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3}
\end{pmatrix}
\]
Questo l'ho adattato alle note di corso in cui ci ha fatto l'esempio su \( \mathbb{R}^2 \), quindi invece di avere \( x_1,x_2,x_3 \) abbiamo semplicemente \( x_1 \) e \(x_2 \) ma poi conclude dicendo che si vede "chiaramente" che le soluzione sono su una sezione conica il cui fuoco coincide con l'origine. E onestamente non lo vedo ne in \( \mathbb{R}^2 \) e neppure in \( \mathbb{R}^3 \).
Ho chiesto ad un mio amico fisico e mi ha suggerito di provare ad utilizzare le coordinate sferiche, ma prima di rispolverare il materiale di fisica I, vorrei chiedere se potrebbe funzionare o se vi è un metodo alternativo, tipo capire la soluzione del professore
vorrei chiedere un hint su questo esercizio, o come approcciarlo perché non ho nessuna idea su come iniziare
Dimostra che se \( \mathbf{x}(t) \) è una funzione di classe \( \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^3 \setminus \{ \mathbf{0} \}) \) e soddisfa il sistema seguente
\[ \ddot{\mathbf{x}}(t) = - Gm \frac{\mathbf{x}(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3} \]
allora esiste un piano \( \mathbf{E} \subset \mathbb{R}^3 \) tale che \( \mathbf{x}(t) \in \mathbf{E} \) per tutti i \( t \in \mathbb{R} \).
Per risolverlo mi ispirerei ad un problema simile che abbiamo visto in corso la cui unica differenza è che \( \mathbf{x}(t) \) è una funzione di classe \( \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}) \). E quindi in maniera analoga ho posto:
\[ \mathbf{y}(t)= \begin{pmatrix}
y_1(t)\\
y_2(t)\\
y_3(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\dot{x}_1(t)\\
\dot{x}_2(t)\\
\dot{x}_3(t)
\end{pmatrix}=\dot{\mathbf{x}}(t) \]
e pongo \( c= -Gm \), e dunque
\[
\begin{pmatrix}
\dot{y}_1(t)\\
\dot{y}_2(t)\\
\dot{y}_3(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
c\frac{x_1(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3}\\
c\frac{x_2(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3}\\
c\frac{x_3(t)}{\left \| \mathbf{x}(t)\right \|^3}
\end{pmatrix}
\]
Questo l'ho adattato alle note di corso in cui ci ha fatto l'esempio su \( \mathbb{R}^2 \), quindi invece di avere \( x_1,x_2,x_3 \) abbiamo semplicemente \( x_1 \) e \(x_2 \) ma poi conclude dicendo che si vede "chiaramente" che le soluzione sono su una sezione conica il cui fuoco coincide con l'origine. E onestamente non lo vedo ne in \( \mathbb{R}^2 \) e neppure in \( \mathbb{R}^3 \).
Ho chiesto ad un mio amico fisico e mi ha suggerito di provare ad utilizzare le coordinate sferiche, ma prima di rispolverare il materiale di fisica I, vorrei chiedere se potrebbe funzionare o se vi è un metodo alternativo, tipo capire la soluzione del professore
Risposte
ciao e benvenut* 
considera che una curva almeno $C^3$ è piana se e solo se ha torsione nulla
la tua curva è $C^3$? si, basta considerare che la posizione
la funzione di destra è differenziabile, quindi lo deve essere anche $ddot(x)(t)$
$x^((3))(t)=(kx(t)*norm(x(t))^(-3))' = k dot(x)(t)*norm(x(t))^(-3)-3kx(t)norm(x(t))^(-4)*(<>)/(norm(x(t))$
o comunque a meno di errori di calcolo la puoi scrivere come $x^((3))(t)=a(t)dot(x)(t)+b(t)x(t)$
quindi il numeratore della torsione sarà
il vettore $dot(x)(t)timesx(t)$ è ortogonale sia a $dot(x)$ che a $x$, quindi è chiaro che è ortogonale anche ad una generica combinazione lineare.
la torsione pertanto sarà nulla ovunque => esiste un piano che la contiene
considera che una curva almeno $C^3$ è piana se e solo se ha torsione nulla
la tua curva è $C^3$? si, basta considerare che la posizione
$ddot(x)(t)=k (x(t))/(norm(x(t))^3)$
la funzione di destra è differenziabile, quindi lo deve essere anche $ddot(x)(t)$
$x^((3))(t)=(kx(t)*norm(x(t))^(-3))' = k dot(x)(t)*norm(x(t))^(-3)-3kx(t)norm(x(t))^(-4)*(<
o comunque a meno di errori di calcolo la puoi scrivere come $x^((3))(t)=a(t)dot(x)(t)+b(t)x(t)$
quindi il numeratore della torsione sarà
$dot(x)(t)times ddot(x)(t)*x^((3))(t) =k(dot(x)(t)times x(t)*(a(t)dot(x)(t)+b(t)x(t)))/(norm(x(t))^3)=0$
il vettore $dot(x)(t)timesx(t)$ è ortogonale sia a $dot(x)$ che a $x$, quindi è chiaro che è ortogonale anche ad una generica combinazione lineare.
la torsione pertanto sarà nulla ovunque => esiste un piano che la contiene
Ciao anto_zoolander, grazie mille per il tuo tempo, veramente gentilissimo.
Purtroppo non avendo mai fatto geometria differenziale delle curve non mi è passato neanche per l'anticamera del cervello di vedere la soluzione come una curva. Però cercando sul web mi è chiara la tua soluzione. Poi oggi ad un corso di geometria abbiamo iniziato a parlare di curve, quindi probabilmente tra una settimana parleremo di torsione e risulterà tutto ancora più chiaro.
Grazie mille ancora.
P.s. sono maschio ahah
Purtroppo non avendo mai fatto geometria differenziale delle curve non mi è passato neanche per l'anticamera del cervello di vedere la soluzione come una curva. Però cercando sul web mi è chiara la tua soluzione. Poi oggi ad un corso di geometria abbiamo iniziato a parlare di curve, quindi probabilmente tra una settimana parleremo di torsione e risulterà tutto ancora più chiaro.
Grazie mille ancora.
P.s. sono maschio ahah
Figurati: c'è sempre tempo per chi vuol capire
spero che tu faccia questa piccola parte di geometria differenziale perché è molto utile per dimostrare "cose" come questa, almeno hai caratterizzazioni abbastanza gestibili
spero che tu faccia questa piccola parte di geometria differenziale perché è molto utile per dimostrare "cose" come questa, almeno hai caratterizzazioni abbastanza gestibili
[ot]Ciao Ale, vedo che ti sei iscritto nel forum
Ci vediamo ai corso
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