Soluzioni equazione numeri complessi
Salve a tutti, devo svolgere questo quesito:
z^2 + 1 = |z-i|^2
Facendo tutti i passaggi, passando alla forma algebrica, ottengo z1=0 z2=i, quindi due punti.Il risultato dell’esercizio non è questo ma bensí una retta è un punto esterno ad essa.
z^2 + 1 = |z-i|^2
Facendo tutti i passaggi, passando alla forma algebrica, ottengo z1=0 z2=i, quindi due punti.Il risultato dell’esercizio non è questo ma bensí una retta è un punto esterno ad essa.
Risposte
Ehm.. se non vuoi che ti chiudano il Thread forse è meglio che scrivi tutto in formule, anche perché chi cerca di aiutarti non deve andare a fare la visita dall'oculista 
Ciao Salvy,
@Anacleto13
Che sia meglio scrivere con le formule è indubbio, basta scrivere la stessa equazione fra due simboli di dollaro per ottenere subito $ z^2 + 1 = |z-i|^2 $
però dai stai esagerando: si capisce subito che l'equazione proposta è quella...
Come d'altronde si vede subito guardandola che due soluzioni sono senz'altro $z_1 = 0 $ e $z_2 = i $
Osservando poi che il secondo membro è senz'altro reale si ha:
$x^2 - y^2 + 2ixy + 1 = |x + i(y - 1)|^2 = x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 $
quindi deve essere $xy = 0 \iff x = 0 \vv y = 0 $. Se $x = y = 0 $ si ottiene la soluzione $z_1 = 0 $ già citata.
Se $x = 0 $ l'equazione diventa la seguente:
$ - y^2 = y^2 - 2y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y - 1) = 0 \implies y = 0 \vv y = 1 $ da cui ancora le due soluzioni citate;
se $y = 0 $ l'equazione diventa la seguente:
$ x^2 + 1 = x^2 + 1 $
che è verificata $\AA x \in \RR $
Ne consegue che le soluzioni dell'equazione proposta sono tutti i numeri sulla retta reale oltre al numero complesso $z_2 = i $
@Anacleto13
"Anacleto13":
forse è meglio che scrivi tutto in formule, anche perché chi cerca di aiutarti non deve andare a fare la visita dall'oculista
Che sia meglio scrivere con le formule è indubbio, basta scrivere la stessa equazione fra due simboli di dollaro per ottenere subito $ z^2 + 1 = |z-i|^2 $
$ z^2 + 1 = |z-i|^2 $
però dai stai esagerando: si capisce subito che l'equazione proposta è quella...
Come d'altronde si vede subito guardandola che due soluzioni sono senz'altro $z_1 = 0 $ e $z_2 = i $
Osservando poi che il secondo membro è senz'altro reale si ha:
$x^2 - y^2 + 2ixy + 1 = |x + i(y - 1)|^2 = x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 $
quindi deve essere $xy = 0 \iff x = 0 \vv y = 0 $. Se $x = y = 0 $ si ottiene la soluzione $z_1 = 0 $ già citata.
Se $x = 0 $ l'equazione diventa la seguente:
$ - y^2 = y^2 - 2y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y - 1) = 0 \implies y = 0 \vv y = 1 $ da cui ancora le due soluzioni citate;
se $y = 0 $ l'equazione diventa la seguente:
$ x^2 + 1 = x^2 + 1 $
che è verificata $\AA x \in \RR $
Ne consegue che le soluzioni dell'equazione proposta sono tutti i numeri sulla retta reale oltre al numero complesso $z_2 = i $
Altro modo di vedere la faccenda.
Manipolando algebricamente l’equazione trovi $z^2 = |z-i|^2 - 1$, col secondo membro reale.
Gli unici numeri complessi ad avere quadrato reale sono i numeri reali, i.e. quelli del tipo $z=x$ (con $x in RR$), e quelli immaginari puri, cioè del tipo $z=i y$ (con $y in RR$).
Per trovare le soluzioni, allora, basta sostituire prima $z=x$ e poi $z= i y$ nella tua equazione e fare i conti.
Manipolando algebricamente l’equazione trovi $z^2 = |z-i|^2 - 1$, col secondo membro reale.
Gli unici numeri complessi ad avere quadrato reale sono i numeri reali, i.e. quelli del tipo $z=x$ (con $x in RR$), e quelli immaginari puri, cioè del tipo $z=i y$ (con $y in RR$).
Per trovare le soluzioni, allora, basta sostituire prima $z=x$ e poi $z= i y$ nella tua equazione e fare i conti.
Non capisco $ x^2+1=x^2+1 $
Da dove viene questa identità? La x dovrebbe scomparire, , come ottieni questo risultato?
Da dove viene questa identità? La x dovrebbe scomparire, , come ottieni questo risultato?
"pilloeffe":
però dai stai esagerando: si capisce subito che l'equazione proposta è quella...
In effetti così sembra che stia parlando di quella formula, ovviamente non intendevo quella ma tutti i passaggi che erano stati caricati con una foto poi rimossa.
"Anacleto13":
In effetti così sembra che stia parlando di quella formula, ovviamente non intendevo quella ma tutti i passaggi che erano stati caricati con una foto poi rimossa.
Ah scusami Anacleto13, sicuramente sono arrivato dopo: l'immagine non l'ho mai vista...
@Salvy
"Salvy":
Non capisco $x^2+1=x^2+1 $
Da dove viene questa identità? La x dovrebbe scomparire, come ottieni questo risultato?
Come c'è scritto nel mio post, cioè ponendo $y = 0 $ nell'equazione
$ x^2 - y^2 + 2ixy + 1 = |x + i(y - 1)|^2 = x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 $
Ma facendo il sistema però, quell'eqazione che dici tu si perde perché nel sistema ho la parte reale(x^2) =0 e la parte immaginaria = 0, quindi non ho più $ x^2 +y^2 - 2y+1=0$
"Salvy":
Ma facendo il sistema però [...]
? Quale sistema?
"Salvy":
quell'equazione che dici tu si perde [...]
Perché si perde? L'equazione "che dico io" è quella iniziale da te proposta dove è stato posto $ z = x + iy $...
Per risolvere l'equazione occorre fare un sistema no? Dove pongo la parte reale = a 0 e la parte immaginaria =0,facendo questo sistema, dovrei ottenere le soluzioni dell'equazione complessa, ma sostituendo y=0 perdo la soluzione che dici te.
"Salvy":
Per risolvere l'equazione occorre fare un sistema no?
Dove lo vedi un sistema nella mia soluzione od in quella ancora più elegante che ti ha proposto gugo82?
L'unica considerazione che è stata fatta è che siccome il secondo membro è reale, allora deve esserlo anche il primo e questo implica che la parte immaginaria del primo membro deve essere nulla, cioè proprio $xy = 0 $. Dopodichè è stato fatto uso del principio di annullamento di un prodotto, secondo il quale un prodotto è nullo se è nullo uno dei suoi fattori (senza escludere il fatto che possano esserlo entrambi, nel qual caso si trova la soluzione $z_1 = 0 $ già citata).
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