Soluzioni equazione esponenziale

[chess71]

Determinare il numero di soluzioni dell'equazione:
$e^x=(x+1)^2$

ho disegnato la parabola e l'esponenziale, e ho notato subito 2 soluzioni.
ci dovrebbe essere anche la terza appartenente al 1° quadrante, dato che l'esponenziale tende velocemente a superare il ramo di parabola, quindi in tutto 3 soluzioni

esiste un metodo risolutivo non grafico?

[Plepp]

Vabè, $0$ è soluzione, e su questo non ci piove per le altre due, prova a "smanettare" col teorema degli zeri.

[chess71]

ecco quello che mi serviva!
grazie Plepp

[Plepp]

Di niente. Però, secondo me, partire dal presupposto che le soluzioni siano 3 è barare perchè è un'informazione che otteniamo graficamente; dovresti dimostrare, in qualche modo, che l'equazione non può avere più di tre soluzioni.

[chess71]

Ci provo. Consideriamo la funzione per le $x$ positive; in questo caso, col teorema degli zeri, trovo che una soluzione è data per $x_0$ appartenente all'intervallo $(2,3)$. Questa soluzione trovata è l'unica in quanto per $x>x_0$ le funzioni $exp$ e $x^2+2x+1$ sono strettamente monotone con la pendenza dell'esponenziale piu' ripida di quella della parabola.
Discorso simmetrico per le $x$ negative.
Ti convince?