Soluzioni equazione differenziale lineare primo ordine
Considero l'equazione differenziale lineare del primo ordine $x^3y'-2y+2x=0$.
Voglio innanzitutto provare che ogni soluzione $y\inC^1(RR-{0})$ si estende ad una funzione in $C^1(RR)$.
L'unico modo che mi è venuto in mente per mostrarlo è di risolverla, se ce ne sono di migliori apprezzo suggerimenti
Considero l'equazione differenziale omogenea associata $x^3y'-2y=0$.
Pongo $x!=0$ e divido l'equazione per $x^3$: ottengo $y'-2/x^3y=0$-
Pongo $y(x)!=0$ $AAx!=0$ (sto perdendo delle soluzioni?) e posso riscrivere l'equazione come $y'/y=2/x^3$.
Integrando ottengo $log|y|=-1/x^2+k$ con $k\inRR$, da cui $y=+-e^ke^(-1/x^2)$.
Sostituendo $c=+-e^k$ ottengo $y(x)=ce^(-1/x^2)$ con $c\inRR-{0}$.
Già qui però, il risultato non torna, cosa ho combinato? [EDIT: corretto, grazie Gi8]
Voglio innanzitutto provare che ogni soluzione $y\inC^1(RR-{0})$ si estende ad una funzione in $C^1(RR)$.
L'unico modo che mi è venuto in mente per mostrarlo è di risolverla, se ce ne sono di migliori apprezzo suggerimenti
Considero l'equazione differenziale omogenea associata $x^3y'-2y=0$.
Pongo $x!=0$ e divido l'equazione per $x^3$: ottengo $y'-2/x^3y=0$-
Pongo $y(x)!=0$ $AAx!=0$ (sto perdendo delle soluzioni?) e posso riscrivere l'equazione come $y'/y=2/x^3$.
Integrando ottengo $log|y|=-1/x^2+k$ con $k\inRR$, da cui $y=+-e^ke^(-1/x^2)$.
Sostituendo $c=+-e^k$ ottengo $y(x)=ce^(-1/x^2)$ con $c\inRR-{0}$.
Già qui però, il risultato non torna, cosa ho combinato? [EDIT: corretto, grazie Gi8]
Risposte
Un possibile errore: hai diviso per $x^3$ ma poi al denominatore c'è $x^2$.
Grazie mille! Ho corretto.
Uso ora il metodo della variazione delle costanti.
$y(x)=c(x)e^(-1/x^2)$
$y'(x)=c'(x)e^(-1/x^2)+c(x)e^(-1/x^2)*2/x^3$
Sostituisco nell'equazione differenziale di partenza:
$x^3(c'(x)e^(-1/x^2)+c(x)e^(-1/x^2)*2/x^3)-2c(x)e^(-1/x^2)+2x=0$
$x^3c'(x)e^(-1/x^2)+2x=0$
$c'(x)=-2/(x^2e^(-1/x^2))$
Ora dovrei integrare questa quantità su un intervallo $(x_0,x)$ tale che $0\notin(x_0,x)$ ed ottenere $c(x)$ ma non riesco ad integrare la funzione a destra dell'uguaglianza...
Uso ora il metodo della variazione delle costanti.
$y(x)=c(x)e^(-1/x^2)$
$y'(x)=c'(x)e^(-1/x^2)+c(x)e^(-1/x^2)*2/x^3$
Sostituisco nell'equazione differenziale di partenza:
$x^3(c'(x)e^(-1/x^2)+c(x)e^(-1/x^2)*2/x^3)-2c(x)e^(-1/x^2)+2x=0$
$x^3c'(x)e^(-1/x^2)+2x=0$
$c'(x)=-2/(x^2e^(-1/x^2))$
Ora dovrei integrare questa quantità su un intervallo $(x_0,x)$ tale che $0\notin(x_0,x)$ ed ottenere $c(x)$ ma non riesco ad integrare la funzione a destra dell'uguaglianza...
Direi che non esiste una primitiva elementare di $-2/[x^2] e^{1/(x^2)}$.
Ho provato anche su wolfram, e ne ho la conferma.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-2%2F%28x^2%29+e^%281%2Fx^2%29+dx
Ho provato anche su wolfram, e ne ho la conferma.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-2%2F%28x^2%29+e^%281%2Fx^2%29+dx
D'accordo, ma se non posso calcolare la soluzione come posso provare che si estende per continuità in $x=0$? 
Abbiamo trovato che la soluzione dell'omogenea associata è $y(x)= c*e^{-1/(x^2)}$, con $c in RR setminus {0}$.
Applicando il metodo di variazione delle costanti cerchiamo una soluzione particolare del tipo $y(x)= c(x)*e^{-1/(x^2)}$.
Ci viene che $c'(x)= -2/(x^2) *e^{1/(x^2)}$, funzione non integrabile elementarmente.
Sia $f(x)$ una primitiva di $-2/(x^2) *e^{1/(x^2)}$.
La soluzione dell'equazione differenziale sarà $y(x)=e^{-1/(x^2)}* [f(x)+c]$, $c in RR$.
Bisogna fare $lim_{x->0} \frac{int [-2/(x^2) * e^{1/(x^2)}] dx +c }{e^{1/(x^2)}}$.
Se viene un valore finito, allora la soluzione si può estendere con continuità.
Applicando il metodo di variazione delle costanti cerchiamo una soluzione particolare del tipo $y(x)= c(x)*e^{-1/(x^2)}$.
Ci viene che $c'(x)= -2/(x^2) *e^{1/(x^2)}$, funzione non integrabile elementarmente.
Sia $f(x)$ una primitiva di $-2/(x^2) *e^{1/(x^2)}$.
La soluzione dell'equazione differenziale sarà $y(x)=e^{-1/(x^2)}* [f(x)+c]$, $c in RR$.
Bisogna fare $lim_{x->0} \frac{int [-2/(x^2) * e^{1/(x^2)}] dx +c }{e^{1/(x^2)}}$.
Se viene un valore finito, allora la soluzione si può estendere con continuità.
Si è vero, ma come posso calcolare il limite di quell'integrale se non sono in grado di calcolarne la primitiva?
Se il numeratore è "meno forte" del denominatore, allora hai già finito: il limite è $0$.
Se questo non accade, allora (siccome il denominatore tende a $+oo$) il numeratore tende a $+oo$.
Dunque puoi usare De L'Hopital. Ecco che l'integrale sparisce.
Se questo non accade, allora (siccome il denominatore tende a $+oo$) il numeratore tende a $+oo$.
Dunque puoi usare De L'Hopital. Ecco che l'integrale sparisce.
Ok dunque dico che se fosse $lim_(x->0)(int(-2/x^2e^(1/x^2))dx+c)=l\inRR$ avrei che il limite della soluzione è $0$ perchè il denominatore diverge a $+oo$.
Se invece $lim_(x->0)(int(-2/x^2e^(1/x^2))dx+c)=+-oo$ applico De L'Hopital ed ottengo $lim_(x->0)((-2/x^2e^(1/x^2))/(e^(1/x^2)*-2/x^3))=lim_(x->0)x=0$.
Dunque in ogni caso questo limite fa zero, ho capito bene?
Allora dico che estendo per continuità la soluzione ponendo $y(0)=0$?
Se invece $lim_(x->0)(int(-2/x^2e^(1/x^2))dx+c)=+-oo$ applico De L'Hopital ed ottengo $lim_(x->0)((-2/x^2e^(1/x^2))/(e^(1/x^2)*-2/x^3))=lim_(x->0)x=0$.
Dunque in ogni caso questo limite fa zero, ho capito bene?
Allora dico che estendo per continuità la soluzione ponendo $y(0)=0$?
Sì, mi sembra corretto.
Un'unica cosa che non mi è chiarissima...
L'integrale in questione è indefinito? In genere, risolvendo le equazioni differenziali, ogni volta che integro lo faccio su un intervallo $(x_0,x)$ no?
L'integrale in questione è indefinito? In genere, risolvendo le equazioni differenziali, ogni volta che integro lo faccio su un intervallo $(x_0,x)$ no?
Quell'integrale è indefinito perchè a noi serve come risultato una funzione, non un numero.
infatti, se vai a rileggere, ho scritto : sia $f(x)$ una primitiva di ...
infatti, se vai a rileggere, ho scritto : sia $f(x)$ una primitiva di ...
Grazie ancora, tutto molto chiaro!
Mi chiedevo...il fatto di considerare sia il caso in cui il numeratore di quel limite tenda a $l\inRR$ che il caso in cui tenda a $+-oo$ è senz'altro un modo pratico per mostrare che $lim_(x->0)y(x)=0$ ma volendo sapere se effettivamente il numeratore tende a $l\inRR$ o a $+-oo$ come potrei fare?
Infine un'ultima domanda...come posso provare che non esistono soluzioni analitiche in un intorno dello $0$?
Mi chiedevo...il fatto di considerare sia il caso in cui il numeratore di quel limite tenda a $l\inRR$ che il caso in cui tenda a $+-oo$ è senz'altro un modo pratico per mostrare che $lim_(x->0)y(x)=0$ ma volendo sapere se effettivamente il numeratore tende a $l\inRR$ o a $+-oo$ come potrei fare?
Infine un'ultima domanda...come posso provare che non esistono soluzioni analitiche in un intorno dello $0$?
Ad entrambe le domande, la medesima risposta: non saprei/non mi ricordo 
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