Soluzioni equazione differenziale di secondo grado

[gianderiu]

Buonasera a tutti,
ho una domanda da porvi sulle soluzioni di una equazione differenziale di secondo ordine omogenea. Probabilmente è una banalità ma non riesco a uscirne.

Data l'equazione \[ \frac{d^2}{dx^2}\ f(x) + a^2f(x)=0 \] questa ha radici del polinomio caratteristico puramente immaginarie \[ \pm ia \] da cui deriva la soluzione \[ f(x)= c_1\cos(ax) + c_2\sin(ax) \]

Ricordo che la soluzione è esprimibile anche come \[f(x)=c_3\exp(-iax) + c_4\exp(iax)\]

Qual è la relazione fra le due soluzioni?
Oppure sto sbagliando qualcosa?

[ostrogoto1]

La soluzione scritta con gli esponenziali coincide (da' gli stessi valori) con quella scritta con seno e coseno, cambia solo la forma:

$ { ( e^(ialphax)=cos(alphax)+isen(alphax) ),( e^(-ialphax)=cos(alphax)-isen(alphax) ):} $
da cui

$ { ( e^(ialphax)+e^(-ialphax)=2cos(alphax) ),( e^(ialphax)-e^(-ialphax)=2isen(alphax) ):} $

cosi' sostituendo nella formula con sen e cos e raccogliendo si ottiene:

$ f(x)=(c_1/2+c_2/(2i))e^(ialphax)+(c_1/2-c_2/(2i))e^(-ialphax) $

[gianderiu]

Grazie!
Allora i coefficienti degli esponenziali \(c_3\) e \(c_4\) sono complessi mentre \(c_1\) e \(c_2\) sono reali?

[ostrogoto1]

Supponiamo di risolvere un problema di Cauchy:

$ { ( y''+alpha^2y=0 ),( y(0)=y_0" "y_0inmathbb(R) ),( y'(0)=tilde(y)_0" "tilde(y)_0inmathbb(R) ):} $

$ y(x)=Ae^(ialphax)+Be^(-ialphax) $

Impongo le condizioni iniziali per determinare A e B:

$ { ( 2ialphaA=ialphay_0+tilde(y)_0 ),( 2ialphaB=ialphay_0-tilde(y)_0 ):} $

$ { ( A=y_0/2+tilde(y)_0/(2ialpha) ),( B=y_0/2-tilde(y)_0/(2ialpha) ):} $

Segue che $ A,B in mathbb(C) $ pur partendo da condizioni iniziali reali; naturalmente y(x) resta a valori in $ mathbb(R) $.
I coefficienti nel caso della soluzione scritta con sen e cos sono ovviamente reali (ripeti i passi di soluzione del problema di Cauchy in questo caso e non troverai nulla di complesso)

[gianderiu]

Grazie mille, ora è più chiaro