Soluzioni equazione con numeri complessi
Salve a tutti, ho un problema con questa equazione con i numeri complessi:
$ (z+2)^4-iz-2i=0 $
Io pensavo di risolverla sostituendo $ w=z+2 $ da cui poi avrei che $z=w-2 $
Quindi verrebbe:
$ w^4-i*(w-2)-2i=0 $
$w^4-iw-4i=0 $
Ora pensavo di ri-sostitiure $ w^4=t^2 $ e quindi anche $ z^4=t $
Che risulta una equazione di secondo grado:
$ t^2-it-4=0 $
Le quali soluzioni sarebbero:
$ t_(1)= 1/2 (i-sqrt(-1+16i)) $ e $ t_(2)= 1/2 (i+sqrt(-1+16i)) $
Ora dovrei elevare al quadrato per avere $w^2$ per poi sostituire la w con z ma la mia z e uguale a $w=z+2$ e non è elevata al quadrato. Quindi la mia domanda: la devo elevare o no la w?
Scusate il caos ma sto facendo confusione con tutti questi esponenti.
Grazie
$ (z+2)^4-iz-2i=0 $
Io pensavo di risolverla sostituendo $ w=z+2 $ da cui poi avrei che $z=w-2 $
Quindi verrebbe:
$ w^4-i*(w-2)-2i=0 $
$w^4-iw-4i=0 $
Ora pensavo di ri-sostitiure $ w^4=t^2 $ e quindi anche $ z^4=t $
Che risulta una equazione di secondo grado:
$ t^2-it-4=0 $
Le quali soluzioni sarebbero:
$ t_(1)= 1/2 (i-sqrt(-1+16i)) $ e $ t_(2)= 1/2 (i+sqrt(-1+16i)) $
Ora dovrei elevare al quadrato per avere $w^2$ per poi sostituire la w con z ma la mia z e uguale a $w=z+2$ e non è elevata al quadrato. Quindi la mia domanda: la devo elevare o no la w?
Scusate il caos ma sto facendo confusione con tutti questi esponenti.
Grazie
Risposte
Ciao,
Continua
$ (z+2)^4-iz-2i=0 $
$ (z+2)^4-i(z+2)=0 $
$ (z+2)^4-i(z+2)=0 $
"Dot.who":
sostituendo $ w=z+2 $
Continua
Io ho sostituito prima di raccogliere la i. Comunque verrebbe
$ w^4-iw=0$
$ w*(w^3-i)=0$
Dove
$ w=0 rArr z=-2 $ e $ (w^3-i)=0 rArr (z+2)^3-i=0 $
Che però non so come risolvere...
$ w^4-iw=0$
$ w*(w^3-i)=0$
Dove
$ w=0 rArr z=-2 $ e $ (w^3-i)=0 rArr (z+2)^3-i=0 $
Che però non so come risolvere...
Come dire che : $(z+2)^3=i $.Adesso trova le radici terze di $ i $ , poi sottrai il numero $2 $ da queste radici ...
Ciao Dot.who,
Come non sai come risolvere, ormai sei arrivata... Puoi fare in diversi modi, come ti ha suggerito Camillo oppure anche osservando che
$w^3 - i = 0 \implies w^3 + i^3 = 0 \implies (w + i)(w^2 - iw + i^2) = 0 \implies (w + i)(w^2 - iw - 1) = 0$
da cui poi è semplice trovare $w$ e quindi $z = w - 2 $
"Dot.who":
Che però non so come risolvere...
Come non sai come risolvere, ormai sei arrivata... Puoi fare in diversi modi, come ti ha suggerito Camillo oppure anche osservando che
$w^3 - i = 0 \implies w^3 + i^3 = 0 \implies (w + i)(w^2 - iw + i^2) = 0 \implies (w + i)(w^2 - iw - 1) = 0$
da cui poi è semplice trovare $w$ e quindi $z = w - 2 $
Grazie mille a tutti per l'aiuto!!! 
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