Soluzioni differenziale lineare
ciao a tutti! spero che qualcuno possa risolvere qst mio dubbio.. allora ho una differenziale lineare... il termine noto è |x|... bene risolvo l'omogenea, risolvo la completa differenziando i casi x<0 e x>0 e le soluzioni finali sono: c1e^3x+c2e^2x+(x^2/2) per x>0 e
c3e^3x+c4e^2x - (x^2 /2) per x<0... se mi viene chiesto di trovare soluzioni continue su R, posto che il testo aveva come derivata massima una y''' , è giusto derivare 3 volte le soluzioni e imporre come condizione che siano continue e derivabili 3 volte appunto in 0 e che i valori delle soluzioni e della loro derivata prima siano uguali in 0 (facendo diventare le soluzioni prolungabili in 0) per ottenere cosi solo 2 costanti invece di 4?
non so se mi sono spiegato bene spero di si!
grazie in anticipo
Giacomo
p.s: molto piu banale... chi mi scrive l'inversa di y=rad(2x^2 +1) -x ? rad=radice quadrata... il meno x è fuori dalla radice...
c3e^3x+c4e^2x - (x^2 /2) per x<0... se mi viene chiesto di trovare soluzioni continue su R, posto che il testo aveva come derivata massima una y''' , è giusto derivare 3 volte le soluzioni e imporre come condizione che siano continue e derivabili 3 volte appunto in 0 e che i valori delle soluzioni e della loro derivata prima siano uguali in 0 (facendo diventare le soluzioni prolungabili in 0) per ottenere cosi solo 2 costanti invece di 4?
non so se mi sono spiegato bene spero di si!
grazie in anticipo
Giacomo
p.s: molto piu banale... chi mi scrive l'inversa di y=rad(2x^2 +1) -x ? rad=radice quadrata... il meno x è fuori dalla radice...
Risposte
Potresti scrivere il testo dell'esercizio?
cavoli nn lo ricordo di preciso mi è stato chiesto ad un orale mi pare fosse tipo y''' -27y'= |x|
al di la delle soluzioni k magari nn vengono quelle mi interessa cmq il procedimento per trovare soluzioni su tutto R
grazie in anticipo!
al di la delle soluzioni k magari nn vengono quelle mi interessa cmq il procedimento per trovare soluzioni su tutto R
grazie in anticipo!
"jack88ipf":
p.s: molto piu banale... chi mi scrive l'inversa di y=rad(2x^2 +1) -x ? rad=radice quadrata... il meno x è fuori dalla radice...
Cerca di ricavare la $x$ in funzione della $y$.
eh si infatti ma nn c sn riuscito per quello ho chiesto.. 
cmq eventualmente è piu urgente la domanda sulle differenziali... credo di aver capito come fare ma vorrei qlcs conferma...
cmq eventualmente è piu urgente la domanda sulle differenziali... credo di aver capito come fare ma vorrei qlcs conferma...
"jack88ipf":
eh si infatti ma nn c sn riuscito per quello ho chiesto..
Prova a portare il termine $-x$ a sinistra.
si ok rimane y+x = radice... poi quello che è dentro la radice è sempre positivo.. impongo y+x >0 e elevo...
y^2+x^2+2xy= 2x^2+1
sommo termini simili
y^2+2xy=x^2+1
ora dovrei ricavare x ma cè il termine con xy che nn so come usarlo
y^2+x^2+2xy= 2x^2+1
sommo termini simili
y^2+2xy=x^2+1
ora dovrei ricavare x ma cè il termine con xy che nn so come usarlo
"jack88ipf":
si ok rimane y+x = radice... poi quello che è dentro la radice è sempre positivo.. impongo y+x >0 e elevo...
$y^2+x^2+2xy= 2x^2+1$
sommo termini simili
$y^2+2xy=x^2+1$
ora dovrei ricavare x ma cè il termine con xy che nn so come usarlo
Porta tutto al secondo membro e risolvi l'equazione di secondo grado in $x$.
P.S.: Non credo che l'equazione differenziale da te riportata sia quella giusta, perchè le funzioni $e^(3x),e^(2x)$ del primo post non risolvono l'omogenea associata $y'''-27y'=0$.
si ma infatti lascia perdere i risultati...
per esempio questo esercizio
y''-5y'+6y=|x|
l'omogeneo viene c1 e^ 3x+c2e^2x
la completa dovrebbe venire 1/6x+5/36 per x>0
e -1/6x-5/36 per x <0
come trovo soluzioni su tuttoR?
per esempio questo esercizio
y''-5y'+6y=|x|
l'omogeneo viene c1 e^ 3x+c2e^2x
la completa dovrebbe venire 1/6x+5/36 per x>0
e -1/6x-5/36 per x <0
come trovo soluzioni su tuttoR?
Essendo il "secondo membro" una funziona continua, le soluzioni su $RR$ sono almeno di classe $C^1$.
Quindi NON puoi mettere costanti arbitrarie a tuo piacimento su positivi e negativi.
Devi imporre che in $0$ le soluzioni si raccordino bene. Ovvero assumano lo stesso valore e lo stesso dicasi per le loro derivate. Ovviamente questo ti dà delle condizioni sulle "costanti arbitrarie" che hai trovato.
PS: ulteriore suggerimento. Prova a risolvere l'equazione $y'' = |x|$. Le difficoltà sono già qui, e ti togli dai piedi aspetti inessenziali.
Quindi NON puoi mettere costanti arbitrarie a tuo piacimento su positivi e negativi.
Devi imporre che in $0$ le soluzioni si raccordino bene. Ovvero assumano lo stesso valore e lo stesso dicasi per le loro derivate. Ovviamente questo ti dà delle condizioni sulle "costanti arbitrarie" che hai trovato.
PS: ulteriore suggerimento. Prova a risolvere l'equazione $y'' = |x|$. Le difficoltà sono già qui, e ti togli dai piedi aspetti inessenziali.
"Fioravante Patrone":
Devi imporre che in $0$ le soluzioni si raccordino bene. Ovvero assumano lo stesso valore e lo stesso dicasi per le loro derivate. Ovviamente questo ti dà delle condizioni sulle "costanti arbitrarie" che hai trovato.
grazie allora avevo capito abbastanza..
molto gentili!
"Fioravante Patrone":
Essendo il "secondo membro" una funziona continua, le soluzioni su $RR$ sono almeno di classe $C^1$.
Quindi NON puoi mettere costanti arbitrarie a tuo piacimento su positivi e negativi.
Devi imporre che in $0$ le soluzioni si raccordino bene. Ovvero assumano lo stesso valore e lo stesso dicasi per le loro derivate. Ovviamente questo ti dà delle condizioni sulle "costanti arbitrarie" che hai trovato.
PS: ulteriore suggerimento. Prova a risolvere l'equazione $y'' = |x|$. Le difficoltà sono già qui, e ti togli dai piedi aspetti inessenziali.
Ovviamente qui si parla di un integrale particolare dell'equazione completa...
Le costanti completamente arbitrarie possono però sempre comparire nella parte dell'integrale generale del problema che contiene le soluzioni dell'equazione omogenea associata.
"Gugo82":
[quote="Fioravante Patrone"]Essendo il "secondo membro" una funziona continua, le soluzioni su $RR$ sono almeno di classe $C^1$.
Quindi NON puoi mettere costanti arbitrarie a tuo piacimento su positivi e negativi.
Devi imporre che in $0$ le soluzioni si raccordino bene. Ovvero assumano lo stesso valore e lo stesso dicasi per le loro derivate. Ovviamente questo ti dà delle condizioni sulle "costanti arbitrarie" che hai trovato.
PS: ulteriore suggerimento. Prova a risolvere l'equazione $y'' = |x|$. Le difficoltà sono già qui, e ti togli dai piedi aspetti inessenziali.
Ovviamente qui si parla di un integrale particolare dell'equazione completa...
Le costanti completamente arbitrarie possono però sempre comparire nella parte dell'integrale generale del problema che contiene le soluzioni dell'equazione omogenea associata.[/quote]
No, Gugo82, mi sa che non ci siamo capiti.
Provo a spiegarmi più dettagliatamente proprio usando l'esempio che avevo proposto.
- risolvo l'equazione per $x \ge 0$ e trovo: $y(x) = (x^3)/6 + c_1 x + c_2$
- risolvo l'equazione per $x \le 0$ e trovo: $y(x) = (-x^3)/6 + c_3 x + c_4$
Ma devo "imporre" che le soluzioni si raccordino bene.
- devono assumere lo stesso valore in $0$ e quindi $c_2 = c_4$
- idem per la derivabilità e valore della derivata in $0$ e trovo $c_1 = c_3$
Quindi l'integrale generale è: $y(x)=$
- per $x \ge 0$: $y(x) = (x^3)/6 + c_1 x + c_2$
- per $x \le 0$: $y(x) = (-x^3)/6 + c_1 x + c_2$
O, visto che è lo stesso: $y(x) = |x^3|/6 + c_1 x + c_2$
Ah ok Fioravante, non avevo capito il senso (forse perchè avevo risolto l'esempiuccio con due integrazioni definite e perciò tornava tutto da sé... 
).
).
Ok, certo il problema può essere risolto in vari modi (anche l'integrazione indefinita del valore assoluto può essere fatta senza bisogno di "spezzare" niente, basta che uno si ricordi che una primitiva di $|x|$ è $(x \cdot |x|)/2$ etc.).
Io mi riferivo ad una soluzione che seguisse la strada di jack88ipf
Io mi riferivo ad una soluzione che seguisse la strada di jack88ipf
"Fioravante Patrone":
Ok, certo il problema può essere risolto in vari modi (anche l'integrazione indefinita del valore assoluto può essere fatta senza bisogno di "spezzare" niente, basta che uno si ricordi che una primitiva di $|x|$ è $(x \cdot |x|)/2$ etc.).
Può allora essere interessante vedere come possono essere scritte in forma compatta le primitive di $|x^2-|x||$ oppure di $|2-x^2+|x^2-|x|-1||$ .....
"franced":
[quote="Fioravante Patrone"]Ok, certo il problema può essere risolto in vari modi (anche l'integrazione indefinita del valore assoluto può essere fatta senza bisogno di "spezzare" niente, basta che uno si ricordi che una primitiva di $|x|$ è $(x \cdot |x|)/2$ etc.).
Può allora essere interessante vedere come possono essere scritte in forma compatta le primitive di $|x^2-|x||$ oppure di $|2-x^2+|x^2-|x|-1||$ .....[/quote]
Beh, se sei in ferie e vuoi un passatempo alternativo al sudoku...
"Gugo82":
Beh, se sei in ferie e vuoi un passatempo alternativo al sudoku...
Sicuramente è più interessante del sudoku.
"franced":
[quote="Gugo82"]
Beh, se sei in ferie e vuoi un passatempo alternativo al sudoku...
Sicuramente è più interessante del sudoku.[/quote]
Beh, ci vuole poco...
Però c'è gente che la considera Matematica (la risoluzione del sudoku).
"Gugo82":
Però c'è gente che la considera Matematica (la risoluzione del sudoku).
Diciamo pure che per il 99% della popolazione è convinto che la matematica sia solo numeri e numeri..
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