Soluzioni di un'equazione

[Maryse1]

Dimostrare che per ogni numero intero positivo n, l'equazione
$ cos(2pinx)=ln(1+|x|) $
ha almeno 6n soluzioni.

Ho iniziato questo esercizio dicendo che, poichè sono entrambi funzioni pari, posso semplificare dimostrando che l'equazione

$ cos(2pinx)=ln(1+x) $ ha 3n soluzione per le x positive, da qui ho pensato di verificare l'affermazione per n=1 e cioè di dimostrare che $ cos(2pix)=ln(1+x) $ ha almeno 3 soluzioni... non so se sia giusto o meno..ma non sono riuscita ad arrivare a nulla.. come posso svolgerlo?

[ciampax]

Più che altro mi chiedo, che metodo vuoi usare? Funzioni? Numeri complessi? Altro? Io proverei a studiare, per $x>0$ l'andamento della funzione $g_n(x)=\cos(2\pi n x)-\log(1+|x|)$ e vedere come si comporta.

[onlyReferee]

Sicuramente la funzione si può studiare (per semplificare) per $x \geq 0$ poiché è pari, come hai giustamente fatto notare. Non è però periodica purtroppo (questo lo si vede facilmente scrivendo $f(x + 2\pi)$ e notando che è diversa da $f(x)$).
Graficamente lo si vede facilmente per quello (prendendo ad esempio il caso con $n = 1$). Ci ho pensato un po' e tra tutte le idee mi è anche venuta in mente l'induzione però ho bisongo di rifletterci ancora.

[Nietzsche610]

Sì, direi che per induzione dovrebbe andare!
Ti faccio notare che per semplificare il campo di ricerca delle soluzioni, potresti notare che, dato che:

$-1<=cos(2\pinx)<=1$,

allora le tue soluzioni dovranno trovarsi in:

$|ln(1+|x|)|<=1 -> 1-e<=x<=e-1$

Spero di esserti stato d'aiuto!

[onlyReferee]

Allora, dopo alcune riflessioni posto la mia dimostrazione. Prima di arrivare alla dimostrazione per induzione bisogna fare alcune considerazioni che ci permettono di formulare correttamente l'ipotesi induttiva (altrimenti non potremmo di certo partire con l'induzione).
Oltre al fatto che abbiamo una funzione pari (e quindi per convenzione e semplicità possiamo effettuare il nostro studio per $x \geq 0$), come accennato giustamente da Gabriele.Sciaugato le nostre soluzioni dovranno soddisfare $-1 \leq \cos(2\pi nx) \leq 1$ e pertanto dovrà anche accadere $-1 \leq \ln(1 + |x|) \leq 1$ (che siccome abbiamo deciso di studiare tutto per $x \geq 0$ si riduce a $-1 \leq \ln(1 + x) \leq 1$). La soluzione della disuguaglianza è pertanto data da $0 \leq x \leq e - 1$,
In realtà quando nel mio ultimo post dicevo che la funzione non è periodica non ho detto proprio la verità: la funzione a primo membro non è periodica di periodo $2\pi$ (ossia come il classico $cos x$) ma nulla vieta che non lo sia con un periodo diverso da $2\pi$. Difatti il periodo lo si ottiene banalmente facendo $\frac{2\pi}{2\pi n} = \frac{1}{n}$ (il perché di tutto questo lo si capisce determinando il periodo di una qualsiasi altra funzione coseno dove l'argomento x è moltiplicato per una costante, ad esempio semplicemente $\cos(2x)$). Controprova: $\cos(2\pi n(x + \frac{1}{n})) = \cos(2\pi nx + 2 \pi) = \cos(2\pi nx)$. La funzione a secondo membro non gode di tale periodicità ma non ci interessa.
Ora bisogna provare a cercare di contare le soluzioni che possono essere presenti nell'intervallo da noi considerato. Aiutandoci con la rappresentazione grafica delle nostre due funzioni per $n = 1$ notiamo che nell'intervallo considerato i punti di intersezione delle stesse sono 4, origine compresa. Possiamo eseguire un ragionamento analogo per $n = 2, 3, \cdots$ (e via grafica ne abbiamo la conferma). In ciascun periodo della funzione a primo membro abbiamo pertanto due punti di intersezione con quella a secondo membro. Quanti periodi abbiamo da considerare? Poiché il nostro intervallo arriva fino a circa $e - 1 \approx 1.7$ lo si può considerare, ai fini dei nostri calcoli, lungo 2 (il nostro scopo, ossia contare le soluzioni, giustifica tranquillamente questa piccola estensione). Ogni periodo ricordiamo che ha grandezza $\frac{1}{n}$. Riassumendo avremo un numero di soluzioni nell'intervallo considerato pari a $2 \cdot \frac{2}{\frac{1}{n}} = 4n$. Considerando per simmetria anche l'altra parte del grafico finora esclusa e sottraendo 1 (altrimenti la soluzione corrispondente all'origine la consideriamo erroneamente due volte) il numero delle soluzioni della nostra equazione è pari a $8n - 1$ (ci si convince provando per $n = 2$ e superiori).
Ora (finalmente) non dobbiamo far altro che ragionare per induzione formulando l'ipotesi induttiva. Questa sarà semplicemente la nostra tesi, ossia $8n - 1 \geq 6n$. Procediamo:

[*:1ha8srhe]Caso base
Con $n = 1$ si ottiene $8 \cdot 1 - 1 \geq 6 \cdot 1, 7 \geq 6$ che è vero;[/*:m:1ha8srhe]
[*:1ha8srhe]Passo induttivo
Supponiamo l'ipotesi induttiva vera per un qualsiasi $n > 1$. Abbiamo: $8 \cdot (n + 1) - 1 \geq 6 (n + 1), 2n \geq -1$, da cui $n \geq - \frac{1}{2}$. Questo è vero per ogni n secondo le ipotesi del nostro problema in quanto $n$ è un numero intero positivo.[/*:m:1ha8srhe][/list:u:1ha8srhe]
Mi pare che possa andare. Cosa ne pensate? Ho preferito non postare i grafici per motivi di spazio (si sta un attimo a rifarli in fin dei conti).