Soluzioni di una equazione differenziale limitate all'asse reale
Salve a tutti, non ho capito, effettivamente lo svolgimento corretto del seguente esercizio:
Data l'equazione differenziale $ ay'' + y = 0 $ stabilire per quali valori di a le soluzioni sono limitate su tutto l'asse reale.
Innanzitutto, ho pensato che le soluzioni dell'equazione differenziale limitate all'asse x, sono del tipo: $ { y(x) = 0, y'(x) = 0 $
Cosi ho deciso di studiare il sistema nei casi in cui $ a $ sia $ >0 $, e $ <0 $, dato che per 0 il polinomio caratteristico risulterebbe impossibile ( 1 = 0 ).
1) $ a < 0, \triangle > 0 : P(\lambda) = (- a)*\lambda^2 + 1 = 0 $, che ha radici distinte : $ \pm sqrt(1/a) $
L'integrale generale dunque sarà : $ \overline{y(x)} = c1*e^(sqrt(1/a)) + c2*e^(-sqrt((1/a))) $
Avendo come soluzioni al sistema, $ c1 = c2 = 0 $, quindi trovo $ \forall a \ne 0 $
2) $ a > 0, \triangle <0 : P(\lambda) = a*\lambda^2 + 1 = 0 $, che ha radici complesse coniugate : $ \pm aj $
L'integrale generale dunque sarà : $ \overline{y(x)} = c1*cos(ax) + c2*sin(ax) $
Ed anche in questo caso trovo come soluzioni al sistema, $ c1 = c2 = 0 $, e quindi qui troverei $ \forall a $
E' giusto il procedimento, perché sono piuttosto scettico al riguardo?
Data l'equazione differenziale $ ay'' + y = 0 $ stabilire per quali valori di a le soluzioni sono limitate su tutto l'asse reale.
Innanzitutto, ho pensato che le soluzioni dell'equazione differenziale limitate all'asse x, sono del tipo: $ { y(x) = 0, y'(x) = 0 $
Cosi ho deciso di studiare il sistema nei casi in cui $ a $ sia $ >0 $, e $ <0 $, dato che per 0 il polinomio caratteristico risulterebbe impossibile ( 1 = 0 ).
1) $ a < 0, \triangle > 0 : P(\lambda) = (- a)*\lambda^2 + 1 = 0 $, che ha radici distinte : $ \pm sqrt(1/a) $
L'integrale generale dunque sarà : $ \overline{y(x)} = c1*e^(sqrt(1/a)) + c2*e^(-sqrt((1/a))) $
Avendo come soluzioni al sistema, $ c1 = c2 = 0 $, quindi trovo $ \forall a \ne 0 $
2) $ a > 0, \triangle <0 : P(\lambda) = a*\lambda^2 + 1 = 0 $, che ha radici complesse coniugate : $ \pm aj $
L'integrale generale dunque sarà : $ \overline{y(x)} = c1*cos(ax) + c2*sin(ax) $
Ed anche in questo caso trovo come soluzioni al sistema, $ c1 = c2 = 0 $, e quindi qui troverei $ \forall a $
E' giusto il procedimento, perché sono piuttosto scettico al riguardo?
Risposte
Ciao.
Sia $ay'' + y' = 0$ l'equazione differenziale (omogenea) proposta.
Nel caso in cui valesse $a=0$, si avrebbe che $y' = 0$, cioè che $y(x)=k$, che è sicuramente una soluzione limitata.
Si supponga che $a!=0$; l'equazione caratteristica associata è data da
$a*alpha^2+alpha=0 Rightarrow alpha*(a*alpha+1)=0$
quindi
$alpha_{1,2}={(0),(-1/a):}$ (le due soluzioni sono sempre reali e distinte, cioè si ha che $Delta>0$)
quindi l'integrale generale dell'equazione differenziale proposta è dato da
$y(x)=c_1e^(0x)+c_2e^(-1/ax)=c_1+c_2e^(-1/ax)$
allora nessuna di queste soluzioni risulterebbe essere limitata su $RR$.
Risposta: l'equazione differenziale data ammette soluzioni limitate solo quando $a=0$.
Saluti.
Sia $ay'' + y' = 0$ l'equazione differenziale (omogenea) proposta.
Nel caso in cui valesse $a=0$, si avrebbe che $y' = 0$, cioè che $y(x)=k$, che è sicuramente una soluzione limitata.
Si supponga che $a!=0$; l'equazione caratteristica associata è data da
$a*alpha^2+alpha=0 Rightarrow alpha*(a*alpha+1)=0$
quindi
$alpha_{1,2}={(0),(-1/a):}$ (le due soluzioni sono sempre reali e distinte, cioè si ha che $Delta>0$)
quindi l'integrale generale dell'equazione differenziale proposta è dato da
$y(x)=c_1e^(0x)+c_2e^(-1/ax)=c_1+c_2e^(-1/ax)$
allora nessuna di queste soluzioni risulterebbe essere limitata su $RR$.
Risposta: l'equazione differenziale data ammette soluzioni limitate solo quando $a=0$.
Saluti.
Scusami ho appena corretto, mi sono accorto di aver scritto l'equazione differenziale sbagliata 
, l'equazione giusta è $ ay'' + y = 0 $, scusami davvero.
, l'equazione giusta è $ ay'' + y = 0 $, scusami davvero.
Nessun problema, capita a tutti di sbagliare.
Si consideri $ay'' + y = 0$, con $a!=0$ ($a=0 Rightarrow y(x)=0$, che è limitata).
Equazione caratteristica:
$a*alpha^2+1=0 Rightarrow alpha^2=-1/a$
Casi possibili:
1) $a<0 Rightarrow alpha_{1,2}=pm sqrt(-1/a) in RR$ con $alpha_1!=alpha_2$, $alpha_1!=0$, $alpha_2!=0$.
Integrale generale: $y(x)=c_1e^{alpha_1x}+c_2e^{alpha_2x}$ che sono tutte soluzioni non limitate in $RR$.
2) $a>0 Rightarrow alpha_{1,2}=pm i*sqrt(1/a)=pm i*sqrt(a)/a notin RR$
Integrale generale: $y(x)=c_1cos(sqrt(a)/a*x)+c_2sin(sqrt(a)/a*x)$ che sono tutte soluzioni limitate in $RR$.
Risposta: l'equazione differenziale data ammette soluzioni limitate quando $a>=0$.
Saluti.
Si consideri $ay'' + y = 0$, con $a!=0$ ($a=0 Rightarrow y(x)=0$, che è limitata).
Equazione caratteristica:
$a*alpha^2+1=0 Rightarrow alpha^2=-1/a$
Casi possibili:
1) $a<0 Rightarrow alpha_{1,2}=pm sqrt(-1/a) in RR$ con $alpha_1!=alpha_2$, $alpha_1!=0$, $alpha_2!=0$.
Integrale generale: $y(x)=c_1e^{alpha_1x}+c_2e^{alpha_2x}$ che sono tutte soluzioni non limitate in $RR$.
2) $a>0 Rightarrow alpha_{1,2}=pm i*sqrt(1/a)=pm i*sqrt(a)/a notin RR$
Integrale generale: $y(x)=c_1cos(sqrt(a)/a*x)+c_2sin(sqrt(a)/a*x)$ che sono tutte soluzioni limitate in $RR$.
Risposta: l'equazione differenziale data ammette soluzioni limitate quando $a>=0$.
Saluti.
Grazie mille!!!
Di nulla, figuriamoci.
Attenzione: nel caso 1 la limitatezza potrebbe esserci, ad esempio, se $c_1=c_2=0$ (ma non è l'unico caso in assoluto).
Saluti.
Attenzione: nel caso 1 la limitatezza potrebbe esserci, ad esempio, se $c_1=c_2=0$ (ma non è l'unico caso in assoluto).
Saluti.
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