Soluzioni di un equazione in un vincolo
è il mio primo messaggio 
Ho una funzione $ f(x,y) = x^3 - y^4 $ e un insieme $ A = x^4 + y^4 <= 1 $
Voglio sapere se la funzione $ f(x,y) = 3 $ ammette soluzioni nell'insieme $ A $
Trovare massimi e minimi vincolati non c'è problema ma per questo esercizio non ho idea di come si faccia
Ho una funzione $ f(x,y) = x^3 - y^4 $ e un insieme $ A = x^4 + y^4 <= 1 $
Voglio sapere se la funzione $ f(x,y) = 3 $ ammette soluzioni nell'insieme $ A $
Trovare massimi e minimi vincolati non c'è problema ma per questo esercizio non ho idea di come si faccia
Risposte
Temo di non aver capito, a quale funzione dobbiamo riferirci?
"Cate93":
Temo di non aver capito, a quale funzione dobbiamo riferirci?
La funzione è $ x^3 - y^4 $ quindi voglio sapere se $ x^3 - y^4 = 3 $ ammette soluzione nell'insieme $ A $
Avevo letto di fretta, devi impostare il problema:
- dal segno del vincolo presumo sia un problema di massimizzazione
- i metodi sono molteplici, puoi ricondurti lo studio ad una sola variabile sostituendo $y^4$ esplicitato dal vincolo nella funzione obiettivo;
-In alternativa costruisci la Lagrangiana:
$L= x^3-y^4-3- M(x^4+y^4-1)$
- Scrivi le condizioni di primo ordine, ti ritroverai un sistema (non lineare purtroppo) di 3 incognite in 3 equazioni;
-A questo punto, facendo un calcolo veloce credo che le soluzioni siano:
$A(+-1;0,-1)$
$B(0,+-1,-1)$
Ci sarebbe una terza soluzione di coordineate $C(0,0)$ ma non soddisfa il vincolo.
Studiando le condizioni di secondo ordine vedi se i punti sono di max/min ma leggo che su questo non hai problemi.
Ciao,
Caterina
- dal segno del vincolo presumo sia un problema di massimizzazione
- i metodi sono molteplici, puoi ricondurti lo studio ad una sola variabile sostituendo $y^4$ esplicitato dal vincolo nella funzione obiettivo;
-In alternativa costruisci la Lagrangiana:
$L= x^3-y^4-3- M(x^4+y^4-1)$
- Scrivi le condizioni di primo ordine, ti ritroverai un sistema (non lineare purtroppo) di 3 incognite in 3 equazioni;
-A questo punto, facendo un calcolo veloce credo che le soluzioni siano:
$A(+-1;0,-1)$
$B(0,+-1,-1)$
Ci sarebbe una terza soluzione di coordineate $C(0,0)$ ma non soddisfa il vincolo.
Studiando le condizioni di secondo ordine vedi se i punti sono di max/min ma leggo che su questo non hai problemi.
Ciao,
Caterina
"Cate93":
Avevo letto di fretta, devi impostare il problema:
- dal segno del vincolo presumo sia un problema di massimizzazione
- i metodi sono molteplici, puoi ricondurti lo studio ad una sola variabile sostituendo $y^4$ esplicitato dal vincolo nella funzione obiettivo;
-In alternativa costruisci la Lagrangiana:
$L= x^3-y^4-3- M(x^4+y^4-1)$
- Scrivi le condizioni di primo ordine, ti ritroverai un sistema (non lineare purtroppo) di 3 incognite in 3 equazioni;
-A questo punto, facendo un calcolo veloce credo che le soluzioni siano:
$A(+-1;0,-1)$
$B(0,+-1,-1)$
Ci sarebbe una terza soluzione di coordineate $C(0,0)$ ma non soddisfa il vincolo.
Studiando le condizioni di secondo ordine vedi se i punti sono di max/min ma leggo che su questo non hai problemi.
Ciao,
Caterina
Scusa non credo di aver capito
Con il sistema di 3 incognite in 3 equazione delle derivate parziali della lagrangiana non trovo i massimi e minimi vincolati all'insieme A ?
Io voglio sapere se esistono soluzioni dell'equazione $ x^3 - y^4 = 3 $ che cadono nell'insieme $ A $
I punti che hai determinato non mi sembrano soluzioni dell'equazione
"Cate93":
Avevo letto di fretta, devi impostare il problema:
- dal segno del vincolo presumo sia un problema di massimizzazione
- i metodi sono molteplici, puoi ricondurti lo studio ad una sola variabile sostituendo $y^4$ esplicitato dal vincolo nella funzione obiettivo;
-In alternativa costruisci la Lagrangiana:
$L= x^3-y^4-3- M(x^4+y^4-1)$
- Scrivi le condizioni di primo ordine, ti ritroverai un sistema (non lineare purtroppo) di 3 incognite in 3 equazioni;
-A questo punto, facendo un calcolo veloce credo che le soluzioni siano:
$A(+-1;0,-1)$
$B(0,+-1,-1)$
Ci sarebbe una terza soluzione di coordineate $C(0,0)$ ma non soddisfa il vincolo.
Studiando le condizioni di secondo ordine vedi se i punti sono di max/min ma leggo che su questo non hai problemi.
Ciao,
Caterina
Si, una svista, ho considerato $F(X;Y)= x^3-y^4$
"momo94":
Ho una funzione $ f(x,y) = x^3 - y^4 $ e un insieme $ A = x^4 + y^4 <= 1 $
Voglio sapere se la funzione $ f(x,y) = 3 $ ammette soluzioni nell'insieme $ A $
Trovare massimi e minimi vincolati non c'è problema ma per questo esercizio non ho idea di come si faccia
Cosa dice il Teorema dei Valori Intermedi (o di Bolzano, che dir si voglia)?
Io ho provato a risolvere così:
\(\displaystyle x^3-y^4=3\)
\(\displaystyle -x^4-y^4+x^4+x^3=3 \)
\(\displaystyle -(x^4+y^4)=-x^3(x+1)+3 \)
\(\displaystyle x^4+y^4=x^3(x+1)-3 \)
Nota: A secondo membro ce solo la $x$.
Quindi sostituisci in $A$ il primo membro con il secondo
\(\displaystyle x^4+y^4\leq 1 \to x^3(x+1)-3\leq 1 \)
\(\displaystyle x^4+x^3-4\leq 0 \)
L'equazione a primo membro restituisce due soluzioni complesse e due intere.
Le complesse sono "enormi", puoi vederle utilizzando un sito che ti svolge l'equazione (io ho usato wolframalpha). Approssimando per ottenere dei numeri puoi scrivere il risultato come
\(\displaystyle -1,22\leq x\leq 1,75\)
Quindi prendi un $x$ in questo intervallo, trova $y$ dalla tua $f(x,y)=3$ e ottieni dei punti in $A$ sicuramente.
Le intere sono $0$ e $\pm 1$. Tutti e tre i casi ti danno come risultato di $y$ un numero complesso, infatti per esempio $x=1$ ci fornisce
\(\displaystyle (1)^3-y^4=3\quad \to \quad y^4=1-3=-2\quad \to \quad y=\pm\sqrt[4]{-2} \)
Il risultato pare siano numeri complessi.
\(\displaystyle x^3-y^4=3\)
\(\displaystyle -x^4-y^4+x^4+x^3=3 \)
\(\displaystyle -(x^4+y^4)=-x^3(x+1)+3 \)
\(\displaystyle x^4+y^4=x^3(x+1)-3 \)
Nota: A secondo membro ce solo la $x$.
Quindi sostituisci in $A$ il primo membro con il secondo
\(\displaystyle x^4+y^4\leq 1 \to x^3(x+1)-3\leq 1 \)
\(\displaystyle x^4+x^3-4\leq 0 \)
L'equazione a primo membro restituisce due soluzioni complesse e due intere.
Le complesse sono "enormi", puoi vederle utilizzando un sito che ti svolge l'equazione (io ho usato wolframalpha). Approssimando per ottenere dei numeri puoi scrivere il risultato come
\(\displaystyle -1,22\leq x\leq 1,75\)
Quindi prendi un $x$ in questo intervallo, trova $y$ dalla tua $f(x,y)=3$ e ottieni dei punti in $A$ sicuramente.
Le intere sono $0$ e $\pm 1$. Tutti e tre i casi ti danno come risultato di $y$ un numero complesso, infatti per esempio $x=1$ ci fornisce
\(\displaystyle (1)^3-y^4=3\quad \to \quad y^4=1-3=-2\quad \to \quad y=\pm\sqrt[4]{-2} \)
Il risultato pare siano numeri complessi.
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