Soluzioni di equazione trascendente

[Legolas87]

Come si può dimostare (se si può fare) che l'equazione 2^x=x^2-4 ha solo una soluzione? Io l'ho "dimostrato" ragionando sul grafico e sul rimto di crescita di 2^x e di x²-4, ma vorrei sapere se esiste un modo un po' più rigoroso di farlo

[fireball1]

Se mi chiedessero una cosa del genere all'esame
di stato, risponderei disegnando il grafico delle
due curve (estremamente facile) sullo stesso piano
cartesiano e l'unica soluzione che c'è la vedrei graficamente,
e direi tra quali valori è compresa.

[JvloIvk]

Io farei così:
Per ogni x 2^x>0 per cui i punti d'intersezione,se esistono hanno ascissa compressa nell'intervallo x<-2 e x>2.
Per x>2 si nota che per valori crescenti di x la quantità 2^x-x^2+4 non tende a 0 ma piuttosto a infinito.
In modo analogo si procede anche per x<-2

[Sk_Anonymous]

La soluzione di JvloIvk e' incompleta: non e' sufficiente che la quantita' 2^x-x^2-4 tenda a +infinito, per garantire che 2^x=x^2-4 non abbia soluzioni per x>2. E poi chi l'ha detto che la soluzione ipotetica <-2 sia unica?

Una soluzione corretta e' la seguente.

Anzitutto, e' corretto dire (come gia' osservato) che le eventuali soluzioni x verificano x<-2 o x>2. Per il Teorema degli zeri, esiste una soluzione x=a<-2. Per xa^2-4; inoltre, per a2^a e x^2-4 Rimane da dimostrare che se x>2, allora l'equazione 2^x=x^2-4 effettivamente non ha soluzioni. Posto f(x)=x-log_2(x^2-4), quello che e' da provare e' che f non ha zeri. f tende a +infinito per x che tende a 2 da destra, tende a +infinito per x che tende a +infinito, ed ha un minimo in un punto x=b>2, con f(b)>0. Ne segue che f non ha zeri.

Luca.

[Legolas87]

Grazie Luca77, era quello che cercavo