Soluzioni complesse equazione di 4^grado

[Spiral1]

Ho trovato questa equazione su un articolo

$a^2*k^4-v^2*k^2+2*v*w*k-w^2=0$

che viene risolta trovando queste radici:

$ k_1=-1/2 v/a+1/2 sqrt(4 w/a+v^2/a^2)$
$ k_2=1/2 v/a+1/2 sqrt(4 w/a+v^2/a^2)$
$ k_3=i 1/2 v/a+1/2 sqrt(4 w/a-v^2/a^2)$
$ k_4=-i 1/2 v/a+1/2 sqrt(4 w/a-v^2/a^2)$

Non capisco da dove vengano le $i$ nella terza e quarta radice.
Qualcuno può spiegarmi svolgendo qualche passaggio?

[Sk_Anonymous]

$[a^2k^4-v^2k^2+2vwk-w^2=0] rarr [a^2k^4-(vk-w)^2=0] rarr [(ak^2+vk-w)(ak^2-vk+w)=0] rarr$

$rarr [ak^2+vk-w=0] vv [ak^2-vk+w=0]$

[Spiral1]

Si questo mi è chiaro, ma ancora non capisco da dove vengono le $i$ della terza e quarta soluzione.

Qualche idea su come possano risultare?

[Sk_Anonymous]

$[ak^2+vk-w=0] rarr [k_1=-1/2 v/a+1/2 sqrt(4 w/a+v^2/a^2)] vv [k_2=-1/2 v/a-1/2 sqrt(4 w/a+v^2/a^2)]$

$[ak^2-vk+w=0] rarr [k_3=+1/2 v/a+1/2 sqrt(-4 w/a+v^2/a^2)] vv [k_4=+1/2 v/a-1/2 sqrt(-4 w/a+v^2/a^2)]$

Ora, se $[4 w/a+v^2/a^2<0]$, allora:

$[k_1=-1/2 v/a+i1/2 sqrt(-4 w/a-v^2/a^2)] vv [k_2=-1/2 v/a-i1/2 sqrt(-4 w/a-v^2/a^2)]$

Invece, se $[-4 w/a+v^2/a^2<0]$, allora:

$[k_3=+1/2 v/a+i1/2 sqrt(4 w/a-v^2/a^2)] vv [k_4=+1/2 v/a-i1/2 sqrt(4 w/a-v^2/a^2)]$

Supponendo $[a,v,w]$ reali, non vedo altri modi per far comparire l'unità immaginaria. In breve, diverse cose non tornano.